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Über die definiten selbstadjungierten Eigenwertaufgaben bei gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen. IV. (German) JFM 68.0197.01
Bei der Eigenwertaufgabe \[ F(y)=\lambda G(y) \; \text{ mit } \; F(y)=\sum_{\nu=0}^{m}(f_{\nu}y^{(\nu)})^{(\nu)} \; \text{ und } \; G(y)=\sum_{\nu=0}^{m}(g_{\nu}y^{(\nu)})^{(\nu)} \] und \(2m\) linearen homogenen voneinander linear unabhängigen Randbedingungen seien die \(f_{\nu}(x)\) und \(g_{\nu}(x)\) im Intervall \(a\), \(b\) gegebene reelle, \(\nu\)-mal stetig differenzierbare Funktionen, \(f_m \neq 0\), \(g_n \not\equiv 0\), \(|\, f_0 \,|+|\, g_0 \,| \not\equiv 0\), \(0 \leqq n<m\). Es soll keine nichttriviale, die Randbedingungen erfüllende Funktion \(y\) mit \(F(y) = G(y) = 0\) geben, und die Eigenwertaufgabe sei selbstadjungiert und definit. (Die Begriffe “definit” und ”zulässig” werden ein wenig anders als in den vorhergehenden Arbeiten des Verf. Math. Z. 46 (1940), 231-286; F. d. M. 66, 416 definiert).
Die Randbedingungen werden allgemein eingeteilt in wesentliche und restliche, je nachdem man aus ihnen die \(m\)-ten und höheren Ableitungen von \(y\) eliminieren kann oder nicht. Von einer “zulässigen” Funktion wird nur noch verlangt, daß sie \((m - 1)\)-mal stetig differenzierbar ist und die wesentlichen Randbedingungen erfüllt. Dann lautet das Hauptergebnis der Arbeit: Der Kleinstwert, den der nach Rayleighscher Art und einigen Umformungen gebildete Quotient: \[ \frac{\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{\nu=0}^{m} (-1)^{\nu}f_{\nu} {y^{(\nu)}}^2 \, dx +F_0(y,y)} {\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{\nu=0}^{m} (-1)^{\nu}g_{\nu} {y^{(\nu)}}^2 \, dx +G_0(y,y)} \] annehmen kann, wenn \(y\) den Bereich der zulässigen Funktionen (für die der Nenner \(\neq 0\) ist) durchläuft, ist der kleinste Eigenwert \(\lambda_1\) und wird von der zugehörigen Eigenfunktion angenommen. Der Fortschritt gegenüber früheren bekannten Minimalaussagen, der auch von großer Bedeutung ist für die numerische Berechnung von Eigenwerten, liegt darin, daß der Bereich der zulässigen Funktionen erweitert worden ist. Das wurde möglich durch Umformung des Rayleighschen Quotienten und Einführung der “reduzierten Dirichletschen Restteile” \(F_0(y,y)\) und \(G_0(y,y)\). Diese Restteile werden für die wichtigsten Probleme 2. und 4. Ordnung explizit angegeben. Es folgen Minimalaussagen für die höheren Eigenwerte, Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Formel und eine Abschätzung für die Ritzschen Näherungswerte.

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