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La derivazione parziale d’ordine qualunque e la risoluzione dell’equazione di Euler e Poisson. (Italian) JFM 68.0225.01
In einer vorangehenden Arbeit hat Verf. die Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung mit Hilfe der Ableitungen beliebiger Ordnung \[ D^\omega F(x) = \frac 1{(-\omega -1)!}\int\limits_{x_0}^x F(t) (x-t)^{-\omega - 1} \, dt \] dargestellt (\(\operatorname{Re} (\omega ) < 0)\) (Boll. Un. mat. Ital. (2), 3 (1940), 9-18; F. d. M. 66, 325 (JFM 66.0325.*)). In vorliegender Arbeit behandelt Verf. entsprechend die Euler-Poissonsche partielle Differentialgleichung \[ z^{\prime \prime }_{xy} + \alpha (x- y)^{-1}z_y^\prime -\beta (x-y)^{-1} z^\prime_x = 0, \tag{E} \] wobei \(\alpha\) und \(\beta\) Konstante bedeuten. Wird mit \(D^\omega_x f(x,y)\) die partielle Ableitung der Ordnung \(\omega\) von \(f (x, y)\) nach \(x\) bezeichnet, so gilt \[ (x-y ) f^\prime_x + \alpha f = D^\alpha_x \left[(x-y) D_x^{1-\alpha} f\right], \] zunächst für ganze, nicht negative \(\alpha\). Mit Hilfe dieser und ähnlicher Beziehungen ergeben sich für (E) Darstellungen wie \[ D^\alpha_x D^\beta_y (x-y) D^{1- \beta}_y D^{1 - \alpha}_x z = 0, \] falls \(\alpha\) und \(\beta\) nichtnegative ganze Zahlen sind; oder \[ D^\alpha_x (x-y)^{1-\beta }D_y (x-y)^\beta D^{1 - \alpha}_x z = 0 \] für ganze, nichtnegative \(\alpha\) und beliebige \(\beta\) oder \[ D^{1 - \alpha}_y (x-y)^\beta D_x (x-y)^{1- \beta} D^\alpha_y (x-y)^{\alpha + \beta - 1} z = 0 \] für ganze \(\alpha\) nicht größer als 1 und beliebige \(\beta\); usw. Entsprechend der ersten dieser Darstellungen von (E) ergibt sich daher als Darstellung der Lösungen \[ z = D^{ \alpha -1}_x D_y^{\beta -1} (x-y)^{-1} D_y^{-\beta }D^{- \alpha }_x 0; \] und analog für die übrigen Darstellungen von (E). Aus diesen Darstellungen von \(z\) werden schließlich Darstellungen von \(z\) für beliebige \(\alpha\) und \(\beta\) gewonnen. Man erhält so auf sehr einfachem Wege die bereits bekannten Ergebnisse hinsichtlich (E). Im letzten Paragraphen werden einige Darstellungen der Lösungen von (E) durch bestimmte (einfache und Doppel-) Integrale angegeben. - In einer späteren Arbeit sollen nach dieser Methode der Ableitungen beliebiger Ordnung allgemeinere partielle Differentialgleichungen behandelt werden.
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Full Text: EuDML