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Generalized surfaces in the calculus of variations. (English) JFM 68.0227.03

In entsprechender Weise wie bei seiner Verallgemeinerung von Kurven (Verf., C. R. Soc. Sci. Lett. Varsovie, Cl. III30 (1937), 212-234; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 1064) definiert Verf. eine verallgemeinerte Fläche \(S^*\) als den Inbegriff einer Spur \(z (x, y)\) und eines Mittels \(M (g)\). \(z(x, y)\) ist hierbei eine reelle, absolut stetige, im konvexen Bereich \(B\) definierte Funktion, \(M (g)\) ein für alle stetigen Funktionen \(g (p, q)\) und für alle \(x\), \(y\) aus \(B\) definiertes Funktional, das linear in \(g\), nicht-negativ für nicht-negative \(g\) und gleich 1 für \(g \equiv 1\) ist. \(M (g)\) soll ferner in \(x\), \(y\) meßbar sein und für fast alle \(x\), \(y\) die Bedingungen \(M (p) = \dfrac {\partial z}{\partial x}\) und \(M (q) = \dfrac {\partial z}{\partial y}\) erfüllen. Speziell erhält man eine gewöhnliche Fläche \(S\), wenn man für fast alle \(x\), \(y\) \(M (g) = g \left( \dfrac {\partial z}{\partial x}, \dfrac {\partial z}{\partial y}\right)\) annimmt. Als Integral \(F (S^*)\) einer stetigen Funktion \(f (x, y, z, p, q)\) über \(S^*\) wird das Lebesguesche Integral von \(M (g)\) über \(B\) bezeichnet, wobei \[ g = g (x, y, p, q) = f(x, y, z(x, y), p, q) \] gesetzt wird. Eine Folge \(\{S_n^*\}\) heißt konvergent, wenn die Folge \(F \{S_n^*\}\) für jede stetige Funktion \(f\) konvergiert. – Im übrigen betrachtet Verf. nur sogenannte Lipschitzsche Flächen, d. h. solche, bei denen \(M(g)\) für eine beliebige Funktion \(g (p, q)\) unabhängig von den Werten ist, die \(g (p, q)\) außerhalb eines Kreises vom Radius \(K\) um den Ursprung der \(p\), \(q\)-Ebene annimmt. Verf. zeigt zunächst, daß eine konvergente Folge \(\{S_n^*\}\) gegen ein \(S^*\) konvergiert, eine Frage, die nach Definition der Konvergenz noch offen war. Ferner wird der Beweis erbracht, daß die Menge aller \(S^*\), deren Spuren einen festen Rand und deren Lipschitz-Konstanten \(K\) eine endliche obere Schranke besitzen, die abgeschlossene Hülle derjenigen ihrer Teilmengen bildet, die nur aus gewöhnlichen Flächen \(S\) besteht. Daraus folgt dann leicht, daß das Minimum von \(F (S^*)\) für eine solche Menge von verallgemeinerten Flächen \(S^*\) das gleiche ist wie für die Teilmenge der gewöhnlichen Flächen und für ein \(S^*\) wirklich erreicht wird.
Reviewer: Von Schwarz, J.

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