×

zbMATH — the first resource for mathematics

Konstruktion lösender Kerne für singuläre Integralgleichungen erster Art, insbesondere bei Differenzkern. (German) JFM 68.0230.01
Der Kern der behandelten Integralgleichung ist von der Form \[ \begin{split} \frac 1{x-\xi }+ c_0(x) \left(\gamma_0 (\xi) + I_0 (x-\xi ) \right) + \cdots \\ +c_n (x) \left(\frac {x^n}{n!}\gamma_0 (\xi) + \cdots + \gamma_n (\xi) + I_n (x-\xi ) \right) \end{split} \] mit \(I_0(x) = \) ln \( | x |\), \(I_n(x) = \int\limits_0^x I_{n-1}(x)\, dx\). Das allgemeine Konstruktionsverfahren besteht in der Zurückführung auf eine lineare Differentialgleichung für die Funktion \(g (x)= \int\limits_{-1}^{+1} \left(\dfrac {x^n}{n!}\gamma_0 (\xi) + \cdots + \gamma_n (\xi) + I_n (x-\xi ) \right) \varphi (\xi) \, d\xi\), wo \(\varphi (\xi)\) die unbekannte Funktion der Integralgleichung erster Art ist. Für die entstehende Differentialgleichung wird eine geeignete Greensche Funktion konstruiert und durch diese die Lösung der Differentialgleichung und damit unter Benutzung der bekannten Lösung der Integralgleichung für \(c_0 = \cdots = c_n = 0\) auch die Lösung der gegebenen Integralgleichung dargestellt. Die Durchführung gelingt, wenn eine gewisse Determinante von Null verschieden ist; der Fall, daß sie verschwindet, wird nicht untersucht. Von besonderem Interesse ist eine Ausartung, bei der der Kern von der Form \[ \frac 1{x - \xi} + \sum_{\nu = 0}^n c_\nu^* (x) \gamma_\nu^* (\xi) \] wird. Auf ihn läßt sich der allgemeine Fall durch ein Iterationsverfahren zurückführen. Wichtig sind ferner vor allem Kerne von der oben angegebenen Form, die nur von der Differenz der Variablen abhängen. In diesem Zusammenhange macht Verf. auf die interessante Funktion \[ X (\xi, \lambda ) = \frac 1\pi \int\limits_{-1}^{+1} \sqrt{\dfrac {1-x^2}{1-\xi^2}} \dfrac {e^{\lambda x}}{x-\xi }\, dx = 2 \sum_{q = 1}^\infty i^{-q} I_q (i\lambda ) \frac {\cos\, q\zeta}{\sin\, \zeta} \]
\[ (I_q\text{ Besselsche Funktion, } \cos \zeta = \xi) \] aufmerksam.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML