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Sur certaines relations entre tétraèdres et quadriques. (French) JFM 68.0352.01

Es wird hier zunächst die Aufgabe wieder gelöst, eine Quadrik zu finden, die einem gegebenen Tetraeder \(T\) umbeschrieben ist und ein anderes Tetraeder \(\varTheta\) als Polartetraeder besitzt; die Aufgabe hat im allgemeinen keine Lösung; für besondere Lagen von \(T\), \( \varTheta\) kann sie entweder eine oder \(\infty ^1\) oder \(\infty ^2\) Lösungen haben; in den zwei letzten Fällen bilden die Lösungen bzw. ein Büschel und ein Netz.
Zweitens wird ein in bezug auf \(T\) autopolares Tetraeder \( \varTheta\) betrachtet; \( \varTheta\) ist eindeutig bestimmt, sobald eine seiner Ecken nach Belieben gewählt worden ist; das Paar \(T\), \(\varTheta\) bestimmt dann eindeutig ein drittes Tetraeder \(\varTheta '\), so daß \(T\), \(\varTheta \), \(\varTheta '\) ein desmisches System bilden; sie sind paarweise autopolar. Werden die Ecken von \(T\) als Fundamentalpunkte und eine Ecke von \(\varTheta \), als Einheitspunkt der Koordinaten gewählt, so lauten die Koordinaten der Ecken von \(\varTheta \): (1111), \((1-1-11)\), \((-11 - 11)\), \((-1 - 111)\) und diejenigen der Ecken von \(\varTheta '\): \((-1111)\), \((1-111)\), \((11 -11)\), \((111 - 1)\). Für zwei beliebige der drei Tetraeder, z. B. \(T\), \(\varTheta \), gestattet die erstgenannte Aufgabe \(\infty ^2\) Lösungen; die betreffenden Quadriken sind auch dem Tetraeder \(\varTheta '\) umbeschrieben. Man hat so drei bemerkenswerte Netze von Quadriken \(X\), \(X'\), \(X''\); jedes Netz ist zweien der drei Tetraeder umbeschrieben und hat das übrige als Polartetraeder. Jede dem Tetraeder \(T\) (oder \(\varTheta \) oder \(\varTheta '\)) umbeschriebene Quadrik kann einem solchen Netz angehören. Zwei der drei Netze werden jedes in sich verwandelt, wenn die Punktkoordinaten durch die inversen Zahlen ersetzt werden (Inversion in bezug auf das Tetraeder \(T\)). Es geiten auch für \(T\), \(\varTheta \), \(\varTheta '\) die dualen Eigenschaften.
Schließlich werden zwei Tetraeder \(T\), \(\tau\) in hyperboloidischer Lage betrachtet. Ein einfacher analytischer Beweis zeigt wieder, daß sie in bezug auf eine Quadrik \(P\) polar sind. Wenn insbesondere \(\tau\) in \(T\) einbeschrieben ist, dann ist \(P\) in \(T\) einbeschrieben und dem Tetraeder \(\tau\) umbeschrieben. Werden die Ecken von \(T\) als Fundamentalpunkte der Koordinaten gewählt, so kann man durch eine geeignete Wahl des Einheitspunktes die Enveloppengleichung von \(P\) auf eine sehr einfache Form bringen; diese zeigt, daß die duale Inversion in bezug auf \(T\) die Quadrik \(P\) invariant läßt.
Alle diese teils bekannten teils neuen Betrachtungen gestatten, die Geometrie des Tetraeders \(T\) mit den Geometrien der vier Dreiecksflächen von \(T\) in Verbindung zu setzen und durch ein geeignetes Koordinatensystem zu behandeln. Sie gestatten auch, die \(\infty ^2\) Tetraeder wie \(\tau\), die in \(T\) einbeschrieben sind und zu \(T\) hyperboloidisch liegen, durch die Punkte einer beliebigen Fläche von \(T\) eineindeutig darzustellen.
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