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Tétraèdres inscrits dans une biquadratique \(\mathfrak B\) et circonscrits à une quadrique \(\varSigma \). (French) JFM 68.0355.02

Die Arbeit schließt, an eine zusammen mit C. H. Rowe angestellte Untersuchung (Ann. sci. Ecole norm. sup. (3) 51 (1934), 153-198, JFM 60.0577.*) und an eine spätere Abhandlung des Verf. (Bull. Soc. math. France 63 (1935), 56-90; JFM 61.0702.*) an, welche sich mit Tetraedern befaßten, die das eine Mal einer Quadrik \(Q\) ein- und einer anderen Quadrik \(Q'\) umbeschrieben sind, das andere Mal aber mit solchen Tetraedern, welche einer Raumkurve 3. bzw. 4. Ordnung ein- und einer Torse 3. bzw. 4. Klasse oder einer Quadrik \(Q\) umbeschrieben sind.
Diese Arbeiten werden hier im Falle der Raumkurve 4. Ordnung \(\mathfrak B\) und der Quadrik \(Q\) in wesentlicher Richtung ergänzt. Insbesondere wird gezeigt, daß eine früher synthetisch gefundene Konstruktion solcher Figuren nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig ist. d.h. wirklieh alle Möglichkeiten umfaßt.
Es ergeben sich drei Fälle, jenachdem das Büschel der Quadriken durch die Raumkurve \(\mathfrak B\) keine, eine oder zwei Flächen enthält, welche die vorgegebene Quadrik \(\varSigma\) nach einem windschiefen Erzeugendenvierseit schneiden. Es gibt in diesen Fällen der Reihe nach sechs, \(\infty ^1\) bzw. \(\infty ^2\) \(\mathfrak B\) einund \(\varSigma\) umbeschriebene Tetraeder. Deren Seitenflächen umhüllen im zweiten Falle zwei Torsen 4. Klasse. Im dritten Falle aber bilden sie \(\infty ^2\) Möbiuspaare von Tetraedern, wobei jede Tangentenebene von \(\varSigma\) an vier Tetraedern teilhat.
Die Untersuchung verläuft im wesentlichen in algebraischem Rahmen und verwendet in der Hauptsache einen algebraischen Identitätssatz über algebraische Mannigfaltigkeiten \(W_m\), welche von \(m\) Parametern abhängen.
Neues Licht fällt auch auf Ergebnisse, die Verf. zusammen mit Labrousse (Bull. Soc. math. France 67 (1939), 177-222; F. d. M. 65, 676 (JFM 65.0676.*)) über die Paare bestehend aus Raumkurven 4. Ordnung \(\mathfrak B\) und Quadriken \(\sigma\) gewann, welche sich der Existenz von \(\infty ^1\) \(\mathfrak B\) einbeschriebenen und bezüglich \(\sigma\) konjugierten Tetraedern erfreuen.
Eine ausführliche Behandlung erfahren neben den möglichen Degenerationsfällen auch konkrete numerische Beispiele der allgemein untersuchten Figuren, an denen die erhaltenen Ergebnisse bestätigt werden können.
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