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Serie, sistemi di equivalenza e corrispondenze algebriche sulle varietà algebriche. A cura di F. Conforto ed E. Martinelli. (Italian) JFM 68.0365.01
VIII + 450 p. Roma, Edizioni Cremonese della S. A. Editrice Perrella (1942).
Verf. hat in zahlreichen Arbeiten seit 1932 die Theorie der Äquivalenzscharen und \hbox-systeme auf algebraischen Mannigfaltigkeiten entwickelt und darauf eine sehr weitgehende Theorie der algebraischen Korrespondenzen gegründet. Das vorliegende, aus Vorlesungen hervorgegangene Buch gibt eine ausführliche und strenge Grundlegung dieser Theorien unter der Voraussetzung, daß dem Leser die frühere EntWicklung der birationalen Geometrie der Kurven und Flächen geläufig ist. Besonders interessant ist der völlig neue Aufbau der Flächentheorie auf der Grundlage der invarianten Äquivalenzscharen (Kap. 6). Die Theorie der stetigen Kurvensysteme, der Abelschen Integrale und des Zusammenhanges mit der Topologie soll den Inhalt des 2. Bandes bilden. Das Buch ist außerordentlich reich an neuen Gedankengängen und Problemen und wird trotz der Schwierigkeit des Gegenstandes den Ausgangspunkt der weiteren Entwicklung der algebraischen Geometrie bilden. Inhalt:
I. Grundbegriffe: Rationale und birationale Transformationen, algebraische Mannigfaltigkeiten, Schnittmultiplizitäten.
II. Invariante Ordnung. Man bezeichnet als absolute bzw. relative invariante Ordnung einer \(V_k\) die kleinste Ordnung unter den durch birationale bzw. ausnahmslos eineindeutige Abbildungen der \(V_k\), entstehenden projektiven Modellen. Sie ist eine absolute bzw. relative birationale Invariante. Z. B. sind die Segre- und GrassmannMannigfaltigkeiten solche Modelle relativer minimaler Ordnung. Linearsysteme und die durch sie erzeugten projektiven Modelle. Normale Mannigfaltigkeiten.
III. Äquivalenzscharen und -systeme. Elementarscharen = Gesamtheit der Punktgruppen konstanter Werte für zwei unabhängige rationale Funktionen auf einer Fläche samt ihren Häufungsgruppen; vollständige und partielle Schnittscharen. Hinweis auf die vermutlich verneinend zu beantwortende Frage, ob auf jeder Fläche die Summe zweier vollständiger Schnittscharen gänzlich in einer ebensolchen Schar enthalten ist. Die charakteristischen Scharen linearer Kurvensysteme auf einer Fläche sind spezielle Elementarscharen. Als Äquivalenzschar bezeichnet man eine Schar virtueller Punktgruppen auf \(F\), die durch Summen- und Differenzbildung aus den Gruppen einer endlichen Anzahl von Elementarscharen entstehen. Zur Übertragung auf höhere Mannigfaltigkeiten entwickelt Verf. die monoidalen Darstellungsverfahren der algebraischen Mannigfaltigkeiten. Analog den für Raumkurven bekannten Sätzen gibt es zu jeder \(V_k\) des \(S_r\) eine stufenweise monoidale Darstellung, nämlich, als vollständiger Schnitt von \(r - k\) virtuellen Formen des \(S_r\), \(F\), \(\varPhi_1-\varPsi_1\),…, \(\varPhi_{r-k-1}-\varPsi_{r-k-1}\), die man nach Wahl eines Bezugssimplex \(A_0A_1\cdots A_r\) folgendermaßen erhält: \(V_k^{(i)}\) sei die Projektion der \(V_k\) von \(A_0A_1\cdots A_{r-k-i-1}\) aus auf die \((k+i)\)-Adimensionale Gegenseite, \(F\) der zu \(i = 1\) gehörige Projektionskegel, \(\varPhi^{(i)}\) ein durch \(V_k^{(i+1)}\) gehendes irreduzibles Monoid mit dem Scheitel \(A_{r-k-i-1}\) in dem von \(A_{r-k-i-1}\),…, \(A_r\) aufgespannten Raume, \(\varPsi^{(i)}\) sein Tangentialkegel im Scheitel, \(\varPhi_i\), \(\varPsi_i\) die Projektionen von \(\varPhi^{(i)}\), \(\varPsi^{(i)}\) aus dem Raume \(A_0A_1\cdots A_{r-k-i-2}\), schließlich \(\varPhi_{r-k-1}\) ein durch \(V_k\) gehendes irreduzibles Monoid mit dem Scheitel \(A_0\), \(\varPsi_{r-k-1}\) sein Tangentialkegel im Scheitel. Hängt \(V_k\) von Parametern rational ab, so gehen diese auch in \(F\), \(\varPhi_i\), \(\varPsi_i\) rational ein. Auf einer irreduziblen \(M_r\) definiert man nun die Elementarsysteme \(k\)-ter Gattung durch Schnittbildung von \(r - k\) Linearsystemen von auf \(M_r\) liegenden \(M_{r-1}\) und die Äquivalenzsysteme \(k\)-ter Gattung als algebraische Systeme effektiver oder virtueller \(V_k\), die durch Summen- oder Differenzbildung aus endlichvielen Elementarsystemen gleicher Gattung entstehen. Insbesondere bilden die Mannigfaltigkeitsfamilien Äquivalenzsysteme. Es gilt der grundlegende Satz, daß ein algebraisches System von \(V_k\) auf einer \(M_r\) des \(S_d\) genau dann ein Äquivalenzsystem bildet, wenn seine allgemeine \(V_k\), abgesehen von festen oder halbfesten Mannigfaltigkeiten, durch eine in \(S_d\) stetig veränderliche effektive oder virtuelle \(V_{d+k-r}\) ausgeschnitten wird.
IV. Rationale Scharen und Systeme auf einer \(M_r\). Grundbegriffe der Korrespondenztheorie. Zusammensetzung von Korrespondenzen, Dimensionsformel. Hauptsatz: Auf einer irreduziblen \(M_r\) ist jedes unirationale System reiner \(V_k\) ein Äquivalenzsystem. Allgemeiner ist ein algebraisches System reiner \(V_k\) auf einer \(M_r\) genau dann ein Äquivalenzsystem, wenn es rational oder gänzlich in einem rationalen System enthalten ist.
V. Äquivalenzscharen auf reduziblen Kurven. Ausgangspunkt ist die Definition: Eine Äquivalenzschar \(g_n^r\) auf einer reduziblen \(C\) des \(S_d\) wird von den Formen eines Linearsystems \(\varSigma\) des \(S_d\) ausgeschnitten; man kann immer \(\sum\) so wählen, daß es auch die Dimension \(r\) hat; es heißt dann zu \(g^r_n\) assoziiert. Definiert man zu einer ebenen \(C\) die Adjungierten in üblicher Weise, so schneiden die Adjungierten einer gegebenen Ordnung auf \(C\) eine vollständige Äquivalenzschar aus, womit sich der Restsatz übertragen läßt. Es gilt der Fundamentalsatz, daß jede vollständige Äquivalenzschar auf \(C\) gleich der Gesamtheit aller Punktgruppen ist, die man durch Zusammenfügung der Gruppen linearer Vollscharen auf den irreduziblen Komponenten von \(C\) erhält. Daher ist eine solche Schar gegenüber birationalen Transformationen von \(C\) invariant. \(g^r_n\) ist genau dann linear, wenn \(r\) die Dimension jeder ihrer linearen Komponenten ist. Das assoziierte System \(\varSigma\) hat im allgemeinen den Nachteil, daß nicht alle in \(g^r_n\) enthaltenen Äquivalenzscharen gleicher Ordnung durch lineare Teilsysteme von \(\varSigma\) ausgeschnitten werden; ist dies hingegen der Fall, so nennt man \(\varSigma\) ein zu \(g^r_n\) adjungiertes System. Ein solches existiert sicher, wenn \(g^r_n\) kleinste Summe von Linearscharen \(g_{n_i}^{r_i}\) (\(i = 1\),…, \(t\)) auf den irreduziblen Komponenten \(C_i\) von \(C\) ist, also \(n =\sum n_i\), \(r =\sum r_i\) gilt; in diesem Falle hat das adjungierte System kleinster Dimension die Dimenion \(r + t - 1\); dieser Fall und der der linearen \(g^r_n\) sind die einzigen, in denen es ein adjungiertes System gibt. Eine unirationale Punktgruppenschar auf \(C\) besteht aus äquivalenten Gruppen; soll sie aber eine Äquivalenzschar bilden, so muß sie involutorisch sein, doch ist diese Bedingung nicht hinreichend. Man kann jede solche unirationale involutorische \(\gamma_n^r\) dadurch kennzeichnen, daß ihre Gruppen durch Addition solcher Gruppen von Linearscharen auf den \(C_i\) entstehen, die in einer gegebenen Plurilinearität zwischen diesen einander entsprechen; soll dann \(\gamma^r_n\) Äquivalenzschar sein, so muß diese Plurilinearität besondere Eigenschaften haben, die im Anschluß an Gherardelli entwickelt werden. Die vollständige Äquivalenzschar \(g^r_n\) heißt total speziell, speziell oder nicht speziell, je nachdem alle, mindestens eine oder keine der auf den \(C_i\) induzierten Linearscharen speziell ist, und demnach gilt der Riemann-Rochsche Satz \(r = n - p - t + 1 + i\), \(0\leqq i\leqq j+t-1\), wenn es \(\infty^{j-1}\) kanonische Gruppen von \(C\) gibt, die die allgemeine Gruppe der \(g^r_n\) enthalten. Die Theorie der adjungierten Kurven zu einer ebenen \(C\) verläuft parallel dem klassischen Falle; ist \(m\) die Ordnung von \(C\), so legen deren Doppelpunkte den Adjungierten der Ordnung \(l\geqq m - 2\) lauter unabhängige Durchgangsbedingungen auf, während für \(l = m - 3\) sich unter diesen Bedingungen genau \(t - 1\) abhängige finden, so daß sich durch rationale Operationen die Zahl \(t\) der Bestandteile von \(C\) finden läßt. Die Betrachtung virtuell nicht existierender Doppelpunkte erfordert das Studium neutraler Scharen.
VI. Die invarianten Äquivalenzscharen auf einer Fläche. Vom Verf. rühren zwei vielgebrauchte Äquivalenzsätze her, die auf einer algebraischen Fläche aus der Äquivalenz der Schnittgruppen zweier Kurven \(A\), \(B\) mit den Kurven eines kontinuierlichen Systems auf die (lineare) Äquivalenz von \(A\), \(B\) bzw. aus der Äquivalenz der Schnittgruppen von \(kA\) (\(k\geqq1\) ganz) mit einer irreduziblen \(C\) bei kontinuierlich veränderlichem \(A\) auf die der \(A\) zu schließen gestatten. Auf ihnen baut Verf. einen neuen eleganten Zugang zu den Haupttatsachen der klassischen Flächentheorie auf: Kanonisches System, adjungiertes System, ihre projektive Erzeugung durch adjungierte Flächen, arithmetisches und geometrisches Geschlecht, ausgezeichnete Kurven 1. und 2. Art, ihre Rolle bei birationalen Transformationen. Neu ist vor allem die Theorie der kanonischen Äquivalenzschar eines linearen Kurvensystems, die aus allen seinen kanonischen Gruppen besteht \(\big({=}\, (C', C)\big)\); bei Addition zweier Systeme verhält sie sich nach der Formel: \(\big((C_1 + C_2)', (C_1 + C_2)\big) = (C_1', C_1) + (C_2',C_2) + 2 (C_1, C_2)\). Die charakteristische Äquivalenzschar \((C, C)\) eines Linearsystems \(| C |\) besteht aus allen Schnittgruppen der \(C\) miteinander. Zunächst die grundlegende Bemerkung, daß, wenn man auf einem singularitätenfreien Modell von \(F\) die Schnittgruppen einer Kurve \(A\) mit den effektiven Kurven \(C\) eines Linearsystems \(| C |\) auf \(C\) zu vollständigen Äquivalenzscharen ergänzt, man eine flächenhafte Äquivalenzschar auf \(F\) erhält; nach diesem Satz ist bei der Herstellung der kanonischen und charakteristischen Äquivalenzschar von \(| C|\) zu verfahren. Betrachtet man zu einem beliebigen Linearsystem \(| C |\) die Jacobischen Gruppen \(I_C\) der aus \(|C|\) ausgesonderten Büschel, so ist die sogenannte Severische Äquivalenzschar \(|S|\equiv|I_C-2(C,C')-(C,C)|\) von \(| C|\) unabhängig, also eine (relative) birationale Invariante von \(F\). Ihre Ordung ist \(I+ 4\), wenn \(I\) die Zeuthen-Segre-Invariante bezeichnet. Entsteht bei der birationalen Abbildung von \(F\) eine ausgezeichnete Kurve 1. Art, so tritt zu \(|S|\) die Linearschar ihrer Punkte hinzu. Die charakteristische Äquivalenzschar \(|\varOmega|\) des unbereinigten kanonischen Systems \(K\) von \(F\) heißt unbereinigte kanonische Schar; sie ist ebenfalls relativ invariant und verhält sich dabei gerade umgekehrt zu \(|S|\); ihre Ordnung ist \(\omega-1\), wenn \(\omega\) das relative Lineargeschlecht von \(F\) bedeutet. Das Maximum von \(\omega\) auf allen zu \(F\) birational äquivalenten Flächen ist die absolute Invariante \(p^{(1)}\). Zu einer absolut-invarianten Äquivalenzschar, nämlich \(2|S+\varOmega|\), gelangt man, wenn man von einem allgemeinen Kurvennetz \(C\) ausgeht, unter \(Q\) die Punktgruppe der Spitzen in \(C\) versteht, und die Äquivalenzschar \(|Q - 12(C, C')|\) bildet; ihre Ordnung ist \(12 p_a\), womit die absolute Invarianz dieser Größe bewiesen ist.
Die wahre Bedeutung von \(| S|\) erhellt erst aus ihrer Beziehung zur Korrespondenztheorie. Daher schaltet Verf. die Grundlagen über Korrespondenzen, insbesondere Involutionen, auf einer \(F\) ein, wobei besondere Aufmerksamkeit den Koinzidenzelementen gewidmet wird. Ist \(O\) Deckpunkt der Korrespondenz \(T\) zwischen \(M_r\) und \(M_r\) (die man als \(V_r\) auf \(M_r\times M_r\) deuten kann), so bezeichnet man als Hauptrichtungen durch \(O\) die Verbindungsgeraden zu \(O\) benachbarter, in \(T\) einander zugeordneter Punkte. Je nachdem alle durch \(O\) gehenden Tangentialrichtungen Hauptrichtungen sind oder nicht, heißt \(O\) vollkommener oder unvollkommener Deckpunkt. Von einem Hyperkoinzidenzpunkt spricht man, wenn in \(O\) jede Richtung durch \(T\) sich selbst zugeordnet wird. Von den vollkommenen Deckpunkten kann man sich durch birationale Abbildungen von \(F\) frei machen. Die Analyse benachbarter Deckpunkte stellt die Verbindung zu den Arbeiten Godeauxs her. Die Deutung der Involutionen in der Riemannschen Mannigfaltigkeit von \(F\) und die Betrachtung ihrer Verzweigungen führt zu dem hier erstmalig studierten Begriff der Monodromiegruppe einer Involution. Ähnlich wie man die kanonische Schar einer Kurve \(C\) als das Negative der charakteristischen Schar auf der Kurve, die in \(C\times C\) die identische Korrespondenz darstellt, deuten kann, erhält man die Severische Schar einer Fläche \(F\) als die virtuelle charakteristische Schar derjenigen Fläche, die in \(F\times F\) die Identität darstellt. Da die lineare Äquivalenz gegenüber algebraischen Korrespondenzen und die rationale Äquivalenz zwischen Mannigfaltigkeiten \(V_k\) auf einer \(M_r\) gegenüber algebraischen Transformationen invariant sind, untersucht nun Verf. des weiteren das Verhalten der invarianten Äquivalenzscharen und -systeme bei Abbildung durch Korrespondenzen. Dafür ist der Begriff der virtuellen Immersionsgruppe einer Kurve \(C\) auf \(F\) vonnöten, d. i. die Schnittgruppe von \(C\) mit einer virtuellen unbereinigten kanonischen Kurve. Hauptsatz: Ist \(T\) eine von Fundamentalelementen freie \([\alpha,\alpha_1]\)-Korrespondenz zwischen \(F\) und \(F_1\), so ist auf \(F_1\) die Summe aus dem Bild einer kanonischen Gruppe von \(F\), einer kanonischen Gruppe der Verzweigungskurve \(D\) von \(T\) auf \(F_1\) und des Dreifachen einer Immersionsgruppe der Koinzidenzkurve \(\varDelta\) von \(T\) äquivalent der Summe aus dem \(\alpha\)-fachen einer kanonischen Gruppe von \(F_1\), einer kanonischen Gruppe von \(\varDelta\) und dem Dreifachen des Bildes einer Immersionsgruppe der Koinzidenzkurve von \(T\) auf \(F\); die Summe aus dem Bild einer Gruppe der Severisehen Schar von \(F\), einer kanonischen Gruppe von \(\varDelta\) und des Negativen der Gruppe der dreifachen Punkte von \(T\) ist auf \(F_1\) äquivalent der Summe aus dem \(\alpha\)-fachen einer Severischen Gruppe von \(F_1\), einer kanonischen Gruppe von \(D\) und des Negativen der Gruppe der Spitzen von \(D\). Der Einfluß der Fundamentalelemente von \(T\) auf die Abbildung der kanonischen und Severischen Schar läßt sich unter weitgehenden Bedingungen aus ähnlich gebauten Äquivalenzen entnehmen. Als Beispiel behandelt Verf. die Kummersche und die Jacobische Fläche der Punktepaare einer Kurve vom Geschlecht 2. Auf jeder \(F^4\) des \(S_3\) mit endlichvielen konischen Doppelpunkten ist \(| S|\) das Sechsfache der Geradenschnittschar, während auf der Jacobischen Fläche \(|S|\) die Nulläquivalenzschar ist.
VII. Der Riemann-Rochsche Satz auf einer Fläche. Der Schlußabschnitt behandelt die Frage nach der Dimension des durch eine Kurve \(C\) bestimmten vollständigen Linearsystems: \[ r=(n-p+p_a-i+1)+(\theta+\tau).\tag{*} \] Dabei sind \(n\) und \(p\) (virtueller) Grad und Geschlecht, \(i\) der Spezialitätsindex von \(C\); \(\sigma=\theta+\tau\) nennt man den Überschuß, während der erste Summand der rechten Seite von (*) die normale Dimension von \(| C|\) heißt. Weiter ist \(\theta= p_g - p_a -\delta\geqq0\), \(\tau\geqq0\) und \(\delta\) der Defekt der charakteristischen Schar auf \(C\), \(\tau\) der Defekt der auf \(C\) vom kanonischen Kurvensystem ausgeschnittenen Schar. Ein reguläres System liegt vor, wenn \(i = \theta = \tau = 0\) ist. Der Beweis erfolgt auf dem von Castelnuovo eingeschlagenen Wege über den Defekt der charakteristischen Schar; er wird erst für die virtuell basisfreien, dann für die basisbehafteten und schließlich für die virtuellen Kurvensysteme geführt. Die letzte Anwendung führt zu dem oft verwendeten hinreichenden Kriterium, wonach eine virtuelle Kurve einem effektiven Linearsystem angehört, wenn ihre normale Dimension nichtnegativ ist. Auch auf Kurven mit mehrfachen Komponenten wird der Riemann-Rochsche Satz ausgedehnt. Den Abschluß bildet ein neuer Beweis des Satzes, daß eine irreduzible Kurve mit (virtuellem) Grad \(- 1\) und Geschlecht 0 ausgezeichnet von 1. Art ist.