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Osservazioni sulla rappresentazione di corrispondenze birazionali fra varietà algebriche. (Italian) JFM 68.0381.02

\(M_3\), \(M_3'\) seien zwei von mehrfachen Punkten freie, vollständig reguläre Mannigfaltigkeiten, die einander durch eine birationale Korrespondenz \(T\) entsprechen. Auf jeder von ihnen seien die vollständigen linearen Flächensysteme sämtlich Vielfache eines kleinsten Systems \(| F|\) bzw. \(| F'|\). Das \(| F|\) auf \(M_3'\) entsprechende Flächensystem \(| m'F' |\) soll nur isoliert liegende Basispunkte \(P_i' (i = 1,\dots, h'\)) mit den Vielfachheiten \(p_i'\) und isolierte Basiskurven \(\gamma_k' (k = 1,\dots, l'\)) mit den Vielfachheiten \(q_k'\) mit (ausser eventuell in gegenseitigen Schnittpunkten) nichtfester Tangentenebene besitzen; analog das \(| F'|\) auf \(M_3\) zugeordnete System \(| mF |\) mit den Basispunkten \(P_i (i = 1,\dots, h\)) der Multiplizität \(p_i\) und den Basiskurven \(\gamma_k (k=1,\dots, l\)) der Multiplizität \(q_k\). Bedeutet = das Entsprechen durch \(T\), so gilt also
\[ (1)\qquad F=m'F'-{\sum\limits_{i=1}^{h'}}p_i'P_i'-{\sum\limits_{k=1}^{l'}}q_k'\gamma_k'\qquad (1') \qquad F'= mF-{\sum\limits_{i=1}^{h}}p_iP_i-{\sum\limits_{k=1}^{l}}q_k\gamma_k. \] Analog erhält man die Zuordnungen \[ (2)\quad P_i=m_i'F'-{\sum\limits_{j=1}^{h'}}p_{ij}'P_j'-{\sum\limits_{k=1}^{l'}}q_{ik}'\gamma_k'\qquad (2')\quad P_i'= m_iF-{\sum\limits_{j=1}^{h}}p_{ij}P_j-{\sum\limits_{k=1}^{l}}q_{ik}\gamma_k, \]
\[ \qquad (3)\quad \gamma_k=\overline{m}_k'F'-{\sum\limits_{i=1}^{h'}}\overline{p}_{ki}'P_i'-{\sum\limits_{j=1}^{l'}}\overline{q}_{kj}'\gamma_j'\qquad(3')\quad\gamma_k'= \overline{m}_kF-{\sum\limits_{i=1}^{h}}\overline{p}_{ki}P_i-{\sum\limits_{j=1}^{l}}\overline{q}_{kj}\gamma_j. \] Zwischen den in diesen Beziehungen auftretenden ganzzahligen nichtnegativen Koeffizienten müssen wegen der Äquivalenz der beiden Gleichungssysteme folgende Relationen bestehen: a) \(h'+l'=h + l\); b) nach einem Satz von Pannelli ist die Differenz zwischen der Summe der Geschlechter der \(\gamma_k\) (\(k = 1\),…, \(l\)) und der Summe der Geschlechter der \(\gamma_k'\) (\(k = 1\),…, \(l'\)) gleich der halben Differenz der Zeuthen-Segre-Invarianten von \(M_3'\) und \(M_3\); c) die Determinanten \(A'\), \(A\) der Koeffizienten der rechten Seiten der Systeme (\(1- 3\)) bzw. (\(1'- 3'\)) sind zugleich gleich \(+ 1\) oder gleich \(- 1\); d) kommt in \(A'\) ein Element Null vor, so ist auch das zu ihm bezüglich der Hauptdiagonale symmetrisch gelegene Element in \(A\) gleich Null und umgekehrt. Speziell gelten diese Sätze für Cremonatransformationen zwischen \(S_3\) und \(S_3'\), für die sie z. T. von Montesano ausgesprochen wurden. Sie lassen sich auf den Fall erweitern, dass die Basiszahl der Flächen auf \(M_3\), \(M_3'\) höher als l ist. Mehrere Beispiele
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