×

Sulle forme cubiche dello spazio a cinque dimensioni contenenti rigate razionali del 4\(^{\circ}\) ordine. (Italian) JFM 68.0400.02

Wenn eine kubische Hyperfläche \(V_4^3\) des fünfdimensionalen Raumes eine rationale normale Regelfläche vierter Ordnung enthält, so ist sie rational; mit dieser Bemerkung hat U. Morin geglaubt (Rend. Sem. mat. Univ. Padova 11 (1940), 108-112; F. d. M. 66, 804) einen Beweis der Rationalität der allgemeinsten \(V_4^3\) des \(S_5\) begründen zu können; eine Konstantenabzählung scheint, in der Tat, zu zeigen, daß jede \(V_4^3\) \(\infty^1\) \(R^4\) enthält. Es wird hier im Gegenteil gezeigt, daß die allgemeinste \(V_4^3\) keine \(R^4\) enthält; enthält sie eine \(R^4\), so enthält sie sofort \(\infty^2\) solche \(R^4\); die Frage der Rationalität der allgemeinsten \(V_4^3\) des \(S_5\) bleibt daher noch unentschieden. Zum Beweise betrachtet Verf. eine \(R^4\) und eine durch sie hindurchgehende \(V_4^3\); es gibt dann \(\infty^2\) Sehnen von \(R^4\), die auf \(V_4^3\) liegen; projiziert man \(R^4\) aus einer dieser \(\infty^2\) Geraden, so erhält man einen Kegel 2. Ordnung; die Schnittmannigfaltigkeit 6. Ordnung, dieses Kegels mit \(V_4^3\) enthält, außer \(R^4\), eine zweite rationale normale Regelfläche \(\varrho^4\); die \(\infty^2\) obengenannten Sehnen von \(R^4\) führen so zu \(\infty^2\) Regelflächen \(R^4\), die auf \(V_4^3\) liegen. Jede solche \(R^4\) liefert auch \(\infty^3\) normale Flächen 5. Ordnung \(\varphi^5\), die auf \(V_4^3\) liegen; sie bilden zusammen mit \(R^4\) die Schnittflächen von \(V_4^3\) mit den \(\infty^3\) rationalen normalen \(M^3\), Örter von \(\infty^1\) Ebenen, die durch \(R^4\) hindurchgehen; man hat so \(\infty^5\) auf \(V_4^3\) liegende \(\varphi^5\). Die allgemeinste \(V_4^3\) enthält keine \(\varphi^5\) (und nicht \(\infty^4\), wie eine grobe Konstantenabzählung lieferte); enthält sie eine \(\varphi^5\), so gibt es \(\infty^5\) ähnliche \(\varphi^5\), die auf \(V_4^3\) liegen. Liegt umgekehrt eine \(\varphi^5\) auf \(V_4^3\), so bilden die Ebenen der Kegelschnitte von \(\varphi^5\) fünf \(M^3\), die von \(V_4^3\) in fünf \(R^4\) weiter geschnitten werden. Die beiden Fragen der auf \(V_4^3\) liegenden \(R^4\) oder \(\varphi^5\) sind also eng miteinander verbunden.
Man gewinnt eine bessere Vorstellung der \(R^4\) und der \(\varphi^5\), die auf einer \(V_4^3\) liegen können, wenn man die \(V_4^3\) durch die Quadrikensysteme transformiert, die eine \(R^4\) oder eine \(\varphi^5\) enthalten. Im ersten Falle wird \(V_4^3\) auf einer Quadrik \(Q\) des \(S_5\) abgebildet; den \(\infty^2\) \(R^4\) entsprechen gewisse Flächen 6. Ordnung mit hyperebenen Schnittkurven des Geschlechts drei. Im zweiten Falle wird \(V_4^3\) auf einem Raume \(S_4\) abgebildet; den \(\infty^5\) \(\varphi^5\) entsprechen Flächen 7. Ordnung, die eine Doppel-\(C^9\) des Geschlechts 8 besitzen.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML