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The general invariant theory of irregular analytic arcs or elements. (English) JFM 68.0434.02
Irgend zwei reguläre analytische Kurvenbogen bzw. Elemente (= Bogen + Anfangspunkt) sind stets hinsichtlich der unendlichen Gruppe \(G\) der in ihrem Anfangspunkt \(O(0,0)\) regulären analytischen Punkttransformationen äquivalent. Man kann sie mittels \(G\) auf die kanonische Form \(y=0\) bringen.
Dies gilt nicht mehr für irreguläre analytische Bogen oder Elemente. Solche zerfallen vielmehr bezüglich \(G\) in zwölf verschiedene Klassen, deren arithmetische und Differentialinvarianten niedrigster Ordnung sowie (soweit vorhanden) kanonische Formen von den Verf. hergeleitet werden.
Irregulär heißt ein analytisches Element, in dessen Entwicklung \[ \begin{gathered} y=c_px^{\frac pp}+c_{2p}x^{\frac{2p}p}+\cdots+c_{rp}x^{\frac{rp}p}+ c_{q}x^{\frac{q}p}+c_{q+1}x^{\frac{q+1}p}+\cdots\\ q=rp+s\neq 0\quad(r\geqq 1,\;0<s<p) \end{gathered} \] der Koeffizient \(c_q\neq 0\) ist. Sein “Index” \(r\) und “Rang” \(q\) sind in \(G\) arithmetische Invarianten. Das Paar \((p,q)\) kennzeichnet die “Gattung” des irregulären Elementes.
Durch die reguläre Punkttransformation \[ (x,y)\parallel(x,y-c_px-c_{2p}x^2-\cdots-c_{rp}x^r) \] nimmt der Bogen die Gestalt \[ y=c_qx^{\frac qp}+c_{q+1}x^{\frac{q+1}p}+\cdots \qquad (c_q\neq 0) \] an, auf die sich die weitere Untersuchung stützt.
Die genaue Diskussion liefert zwölf große Gattungen irregulärer Elemente, wovon sieben in \(G\) eine absolute Invariante niedrigster Ordnung besitzen, während die restlichen fünf verschiedenes Verhalten zeigen.
Ausführlicher beschrieben, ergibt sich folgendes:
1) Die Elemente der Gattungen \((p,rp+s)\) mit \(r\geqq 2\), \(0<s<p-2\) oder \(r=1\), \(2<s<p-2\) besitzen die absolute Differentialinvariante \(c_qc_{q+2}c_{q+1}^{-2}\) der Ordnung \(q+2\). -2) Die Elemente der Gattungen \((p,rp+s)\) mit \(r\geqq 2\), \(1<s=p-2\) oder \(r=1\), \(3<s=p-2\) besitzen die absolute Invariante \(c_q^2c_{q+3}c_{q+1}^{-3}\) der Ordnung \(q+3\). -3) Die Elemente der Gattungen \((p,rp+s)\) \(r\geqq 2\), \(2<s=p-1\) oder \(r=1\), \(3<s=p-1\) haben die absolute Invariante \(c_qc_{q+3}^2c_{q+2}^{-3}\) der Ordnung \(q+3\). -4) Die Elemente der Gattungen \((p,p+1)\) mit \(p>4\) besitzen eine aus \(c_{p+1}\), \(c_{p+2}\), \(c_{p+3}\), \(c_{p+4}\) komplizierter aufgebaute absolute Invariante der Ordnung \(p+4\). -5) Die Elemente der Gattungen \((p,p+2)\) mit \(p>5\) besitzen eine absolute Invariante der Ordnung \(p+5\), die sich ähnlich aus \(c_{p+2}\) bis \(c_{p+5}\) aufbaut. 6) Die Elemente der Gattungen \((5,7)\) haben die absolute Invariante \(c_7(c_7^2c_{11}-8c_7c_9^2-8c_8^2c_9)c_8^{-4}\) der Ordnung 11. -7) Die Elemente \((5,8)\) haben die absolute Invariante \(c_8^2(8c_8c_{12}-9c_9c_{11})c_9^{-4}\) der Ordnung 12.
8) Die Elemente der Gattungen \((4,5)\) haben die relative Differentialinvariante \(R=(10c_5c_7-11c_6^2)^2c_5^{-5}\) und keine weitere Differential- oder arithmetische Invariante. Je nachdem \(R\neq 0\) oder \(R=0\) ist, hat man für sie die kanonischen Formen \(y=x^{5/4}+x^{7/4}\) bzw. \(y=x^{5/4}\). -9) Die Elemente der Gattungen \((4,7)\) besitzen die relative Differentialinvariante \(R=c_9^3c_7^{-4}\). Ist \(R=0\), so existiert außerdem noch die relative Differentialinvariante \(R^*=(14c_7c_{13}-17c_{10}^2)c_7^{-3}\). Weitere Invarianten sind nicht vorhanden. Es gibt drei Teilgattungen mit folgenden kanonischen Formen: (\(\alpha\)) \(R\neq 0:y=x^{7/4}+x^{9/4}\). (\(\beta\)) \(R=0\), \(R^*\neq 0:y=x^{7/4}+x^{13/4}\). (\(\gamma\)) \(R=0\), \(R^*=0:y=x^{7/4}\).
10) Die Elemente der Gattungen \((4,6)\) besitzen eine ganzzahlige arithmetische Invariante \(Q\geqq 7\), nämlich den ersten ungeraden Exponenten von \(x^{1/4}\) in der Entwicklung von \(y\), und den Ausdruck \(c_Q^5c_6^{1-Q}\) als relative Differentialinvariante, jedoch keine weiteren Invarianten. Kanonische Form: \(y=x^{3/2}+x^{Q/4}\). -11) Für die Elemente der Gattungen \((3,q)\) sei \(Q\) der erste Exponent von \(x^{1/3}\) in der Entwicklung von \(y\). Ist dann \(q<Q<2q-3\), so ist \(Q\) arithmetische und der Ausdruck \(c_Q^{q-1}c_q^{1-Q}\) relative Differentialinvariante. Weitere Invarianten gibt es dann nicht. Kanonische Form \(y=x^{q/3}+x^{Q/3}\). Ist aber \(Q\geqq 2q-3\), so gibt es keine Invarianten. Kanonische Form \(y=x^{q/3}\). -12) Die Elemente der Gattungen \((2,q)\) haben keine Differentialinvariante und die einzige arithmetische Invariante \(q\). Kanonische Form \(y=x^{q/2}\).
Die Differentialinvarianten höherer Ordnung sollen an anderer Stelle untersucht werden. Projektive Invarianten irregulärer Elemente existieren in großer Zahl.

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