On integral geometry in Klein spaces. (English) JFM 68.0462.02

Chern, S. S.

Ann. Math., Princeton, (2) 43, 178-189 (1942).

\(G_r\) sei eine abstrakte Liesche Gruppe, \(\omega^1,\ldots,\omega^r\) seien die relativen Komponenten von \(G_r\) (d. h. die gegenüber der ersten Parametergruppe von \(G_r\) invarianten Pfaffschen Formen). Der Raum \(E\) sei gegeben durch das vollständig integrierbare Pfaffsche System \[ \omega^1=0, \ldots, \omega^n=0. \tag{1} \] Das Maß eines Bereiches \(D\) von Elementen von \(E\) ist \[ \int\limits_D[\omega^1\cdots\omega^n]. \] Bezeichnet man mit \(V_{r_n}\) bzw. \(V_{r-m}\) bzw. \(V_{r-\varepsilon}\) die Integralmannigfaltigkeiten von (1), bzw. \[ w^1=0,\ldots, w^m=0\quad \text{bzw.}\qquad (3) \quad \omega^1=0,\ldots, \omega^n=0; \;w^1=0,\ldots, w^m=0 \tag{2} \] (wobei \(s\) Paffsche Formen (\(s>m\), \(s>n\)) von (3) linear unabhängig sind und die \(w\) lineare Kombinationen der \(\omega\) mit konstanten Koeffizienten darstellen), so kann man ein Element \(N\) von (1) und ein Element \(M\) von (2) inzident nennen, wenn die zugehörigen Integralmannigfaltigkeiten \(V_{r-n}\) und \(V_{r-m}\) eine \(V_{r-s}\) gemein haben.
Dann lautet die verallgemeinerte Croftonsche Formel: \[ \int[\omega^1\cdots\omega^n]=cF\qquad (c \;\text{konstant}). \] Das Integral wird erstreckt über die Elemente \(N\), die inzident sind mit den Elementen von \(V_p\) (\(p=m+n-s\)) (die gebildet sind durch die Elemente \(M\)). \(F\) bedeutet den \(p\)-dimensionalen Rauminhalt von \(V_p\). – Die Arbeit schließt mit einer Verallgemeinerung der Cauchyschen Formel.

Reviewer: Hlavatý, V., Prof. (Prag)

JFM Section:

F. Geometrie. 10. Mengentheoretische Differentialgeometrie. Konvexe Gebilde. Integralgeometrie. d) Integralgeometrie.