×

zbMATH — the first resource for mathematics

The motion of the particles of a two-dimensional ideal incompressible fluid. (Sur le mouvement des particules d’un fluide parfait incompressible bidimensionnel.) (French) Zbl 0739.76010
Il faut d’abord noter l’absence, à la tête de cet article, d’un résumé du travail exposé, indiquant le problème global à traiter, les hypothèses à faire et les résultats obtenus. Ceci est regrettable pour la clarté et la compréhension de ce travail. Le problème traité ici est celui du mouvement bidimensionnel d’un fluide incompressible, décrit par un champ de vitesses – et une donnée initiale \(v_0\) –, à divergence nulle. La clef de ce travail est l’utilisation de structures striées. Dans un premier paragraph, on établit un résultat d’existence globale, en utilisante le calcul paradifférentiel de J. M. Bony [e.g.: Ann. Sci. Ec. Norm. Super., IV. Ser. 14, 209–246 (1981; Zbl 0495.35024)], et les résultats de V. I. Yudovich [Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 3, 1032–1066 (1963; Zbl 0129.19402)].
Dans un deuxième paragraph, on étude l’existence locale de solutions lipschitziennes, par estimation a priori non linéaire et passage à la limite. Dans un troisième paragraph, on étudie la régularité des trajectoires des particules. Enfin, dans un quatrième et dernier paragraph, on établit un théorème de régulariteé elliptique, par passage à la limite.
Reviewer: A. Trad (Paris)

MSC:
76B99 Incompressible inviscid fluids
35Q35 PDEs in connection with fluid mechanics
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Alinhac, S.: Interaction d’ondes simples pour des équations complétement non linéaires. Ann. Sci. Ec. Norm. Super.21, 91-133 (1988) · Zbl 0665.35051
[2] Alinhac, S.: Remarques sur l’instabilité du problème des poches de tourbillon. Prépublication de l’Université d’Orsay, 1989
[3] Bardos, C.: Existence et unicité de la solution de l’équation d’Euler en deux dimensions. J. Math. Anal. App. 769-790 (1972) · Zbl 0249.35070
[4] Beale, J.T., Kato, T., Majda, A.: Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations. Comm. Math. Phys.94, 61-66 (1984) · Zbl 0573.76029
[5] Bony, J.-M.: Calcul symbolique et propagation des singuarités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires. Ann. Sci. Ec. Norm. Super.14, 209-246 (1981)
[6] Chemin, J.-Y.: Calcul paradifférentiel précisé et application à des équations aux dérivées partielles non linéaires. Duke Math. J.56(3), 431-469 (1988) · Zbl 0676.35009
[7] Chemin, J.-Y.: Régularité de la solution d’un problème de Cauchy fortement non linéaire à données singulières en un point. Ann. Inst. Fourier39, 101-123 (1989)
[8] Chemin, J.-Y.: Evolution d’une singularité ponctuelle dans des équations strictement hyperboliques non linéaires. Prépublication de l’Ecole Polytechnique 1988 (à paraître dans l’Amer. J. Math.112 (1990))
[9] Chemin, J.-Y.: Evolution d’une singularité ponctuelle dans un fluide compressible. Prépublication de l’Ecole Polytechnique 1989 (à paraître dans Comm. in P.D.E.)
[10] Chemin, J.-Y.: Remarques sur l’apparition de singularités dans les écoulements eulériens compressibles. Prépublication de l’Ecole Polytechnique 1989 (à paraître dans Comm. in Math. Phys. (1990))
[11] Chemin, J.-Y.: Analyse 2-microlocale et équations d’Euler. Actes du Congrès E.D.P. de Saint Jean de Monts 1989 · Zbl 0686.35093
[12] Coifman, R., Meyer, Y.: Au dela des opérateurs pseudodifférentiels. Astérisque57 (1978) · Zbl 0483.35082
[13] DiPerna, R., Lions, P.L.: Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces. Invent. Math.98 (3), 511-549 (1989) · Zbl 0696.34049
[14] Hörmander, L.: The analysis of linear partial differential operators. Berlin Heidelberg New York: Springer 1983 · Zbl 0521.35002
[15] Majda, A.: Vorticity and the Mathematical Theory of Incompressible Fluid Flow. Comm. Pure Appl. Math.38, 187-220 (1986) · Zbl 0595.76021
[16] Torchinsky, A.: Real variable methods in harmonic analysis. Pure Appl. Math., vol. 123. New York: Academic Press · Zbl 1097.42002
[17] Yudovitch, V.: Non stationary flow of an ideal incompressible liquid. Zh. Vych. Math.3, 1032-1066 (1963) (en russe)
[18] Zabusky, N., Hugues, M.H., Roberts, K.V.: Contour dynamics for the Euler equations in two dimensions. J. Comp. Phys.30, 96-106 (1979) · Zbl 0405.76014
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.