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\(p\)-adic representations of local fields. I. (Représentations \(p\)-adiques des corps locaux. I.) (French) Zbl 0743.11066
The Grothendieck Festschrift, Collect. Artic. in Honor of the 60th Birthday of A. Grothendieck. Vol. II, Prog. Math. 87, 249-309 (1990).
[For the entire collection see Zbl 0717.00009.]
Il s’agit de la première partie de travail de fond considérable visant à classifier les représentations \(p\)-adiques du groupe de Galois d’un corps local, prévu pour s’organiser en quatre sections: (A) Représentations \(p\)-adiques générales, (B) Représentations \(p\)- adiques de hauteur finie, (C) Classification des représentations \(p\)-adiques, (D) Familles de représentations \(p\)-adiques, et dont seules les deux premières sont présentées ici.
Dans la section A, l’auteur construit des équivalences entre la catégorie des représentations \(p\)-adiques du groupe de Galois \(G_ K\) d’un corps \(K\) complet pour une valuation discrète, à corps résiduel parfait \(k\) de caractéristique \(p\), et certaines catégories d’objets “purement algébriques”. Plus précisément, soit \({\mathcal O_ E}\) le séparé complété de l’algèbre \(W((\pi))\) des séries de Laurent formelles en une variable \(\pi\) sur l’anneau \(W\) des vecteurs de Witt à coefficients dans \(k\).
Si \(K\) est de caractéristique \(p\), l’auteur construit une équivalence entre la catégorie des représentations \(\mathbb{Z}_ p\)-adiques de \(G_ K\) et celle des \(\varphi\)-modules étales sur \({\mathcal O_ E}\) (\(\S A.1\) et \(\S A.2\)).
Si \(K\) est de caractéristique 0 (et \(p\neq 2)\), il introduit le groupe de Galois \(\Gamma=\hbox{Gal}(K_ \infty/K)\) de la \(\mathbb{Z}_ p\)-extension cyclotomique de \(K\) pour construire une équivalence entre la catégorie des représentations \(\mathbb{Z}_ p\)-adiques de \(G_ K\) et celle des \(\varphi\)-\(\Gamma\)-modules étales sur \({\mathcal O_ E}\).
Dans la section B, l’auteur étudie plus précisément les représentations de hauteur finie, i.e., lorsque \(K\) est de caractéristique \(p\), les représentations \(p\)-adiques de \(G_ K\) pour lesquelles le \(\varphi\)-module \(p\)-étale associé provient par extension des scalaires d’un \(\varphi\)-module de \(q\)-hauteur finie sur \(S=W[[\pi]]\) pour un \(q\) de \(S\backslash pS\). La notion correspondante en caractéristique 0 est celle de \(cr\)-hauteur que l’auteur définit ici pour \(K=Fr(W)\), les représentations de \(cr\)-hauteur finie \(\leq r\) étant ici les représentations cristallines à poids de Hodge-Tate dans \([-r,0]\).
Dans les sections à venir, l’auteur se propose de poursuivre l’investigation du “foncteur mystérieux” entre cohomologie étale \(p\)-adique et cohomologie cristalline en caractérisant les représentations de de Rham ainsi que celles semi-stables en termes de \(\varphi\)-\(\Gamma\)-modules étales sur \({\mathcal O_ E}\).

MSC:
11S23 Integral representations
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14L05 Formal groups, \(p\)-divisible groups
13K05 Witt vectors and related rings (MSC2000)
Biographic References:
Grothendieck, Alexander
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