×

Zur Nullstellentheorie der Polynomideale. (German) JFM 52.0126.01

Gegenstand der Arbeit ist eine rein idealtheoretische Begründung der Theorie der algebraischen Mannigfaltigkeiten (die auch in das inzwischen erschienene Buch des Verf. “Moderne Algebra” (Berlin 1931; JFM 57.0153.03; Zbl 0002.00804), Bd. 2, Kap. 13 aufgenommen ist), wobei die Ausschaltung der Eliminationstheorie den Verzicht auf die Beantwortung der Frage nach der Durchführbarkeit der erforderlichen Rechnungen in endlich vielen Schritten bedeutet (vgl. hierzu das folgende Referat).
Idealtheoretische Grundlagen (vgl. auch Emmy Noether [Math. Ann. 90, 229–261 (1923; JFM 49.0076.04)]): \(P\) sei ein Körper, \(\varOmega=P(\xi_1,\dots,\xi_n)\) eine von endlich vielen Elementen \(\xi_\nu\), über die keine Voraussetzungen gemacht werden, erzeugte Erweiterung von \(P\). Im Polynomring \(R=P[x_1,\dots,x_n]\) bildet die Gesamtheit der Polynome \(f\), für die \(f(\xi_1, \dots, \xi_n)=0\) ist, ein Primideal \(\mathfrak p\), und \(\varOmega\) ist isomorph dem Restklassenkörper \(R/\mathfrak p\); umgekehrt kann man zu jedem \(\mathfrak p\) einen (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten) Körper \(\varOmega=P(\xi_1,\dots,\xi_n)\) mit den genannten Eigenschaften formal konstruieren. \(\varOmega\) heißt Nullstellenkörper, \(\xi_1\),…,\(\xi_n\) allgemeine Nullstelle von \(\mathfrak p\). Der Transzendenzgrad von \(\varOmega\) über \(P\) heißt die Dimensionszahl \(\mu\) von \(\mathfrak p\) ; bei passender Numerierung von \(x_1\),…,\(x_n\) sind in \(P(\xi_1,\dots,\xi_\mu,\xi_{\mu+1},\dots \xi_n)\) die \(\xi_1\), …, \(\xi_\mu\) unabhängige Transzendente, und \(\xi_{\mu+1}\), …, \(\xi_n\) algebraisch in bezug auf \(P(\xi_1,\dots ,\xi_\mu)\).
Ist \(\mathfrak p\) durch ein anderes Primideal \(\mathfrak p'\) teilbar, so gilt für die Dimensionszahlen \(\mu'\leqq \mu\), und aus \(\mu'=\mu\) folgt \(\mathfrak p'=\mathfrak p\). Eine Nullstelle \(\eta_1\), …, \(\eta_n\) von \(\mathfrak p\) ist nur dann allgemein, wenn der Transzendenzgrad von \(P(\eta_1,\dots, \eta_n)\) genau gleich der Dimensionszahl \(\mu\) von \(\mathfrak p\) ist; insbesondere hat ein nulldimensionales Primideal nur allgemeine Nullstellen (die algebraisch in bezug auf \(P\) sind). Jedes \(\mu\)-dimensionale Primideal (\(\mu>0\)) hat einen (\(\mu-1\))-dimensionalen Primidealteiler.
Geometrische Deutung: \(P\) sei algebraisch abgeschlossen. Jedes geordnete System von \(n\) Elementen \(\xi_1\), …, \(\xi_n\) aus \(P\) heißt ein Punkt, die Gesamtheit der Punkte bilden den cartesischen Raum \(C_n(P)\). Die Gesamtheit der in \(C_n(P)\) gelegenen Nullstellen eines Ideals aus \(P(x_1, \dots, x_n)\) bildet eine algebraische Mannigfaltigkeit \(M\); das umfassendste der Ideale, durch die \(M\) definiert werden kann, heißt das zu \(M\) gehörige Ideal \(\mathfrak m\). Ist das zu \(M\) gehörige Ideal ein Primideal \(\mathfrak p\), so heißt \(M\) irreduzibel, und die Dimensionszahl \(\mu\) von \(\mathfrak p\) heißt Dimension von \(M\).
Ist \(\varOmega\) eine transzendente Erweiterung von \(P\) vom Transzendenzgrad \(\mu\), so heißt jeder Punkt des entsprechend gebildeten \(C_n(\varOmega)\) ein \(r\)-fach unbestimmter Punkt von \(C_n(P)\); insbesondere sind die in \(C_n(\varOmega)\) gelegenen Nullstellen von \(m\) unbestimmte Punkte von \(M\). Ist speziell \(\mathfrak m=\mathfrak p\), \(\varOmega=\) Nullstellenkörper von \(\mathfrak p\), so heißt eine allgemeine Nullstelle von \(\mathfrak p\) allgemeiner Punkt der irreduziblen Mannigfaltigkeit \(M\). Die vorher Angeführten Sätze über \(\mathfrak p\) lassen sich jetzt als Aussagen über \(M\) deuten.
Hat man ein System von \(n\) algebraischen Funktionen \(\xi_1\), …, \(\xi_n\) von \(\mu\) Parametern \(\lambda_1\), …, \(\lambda_\mu\), so entsteht die Aufgabe, eine algebraische Mannigfaltigkeit \(M\) zu definieren, deren Parameterdarstellung die \(\xi_\nu\) sind. Dazu hat man für die “regulären” Parameterwerte \(\lambda_1^\prime\), …, \(\lambda_\mu^\prime\) aus \(P\) (für die die von den \(\lambda\) abhängigen Koeffizienten der Gleichungen, aus denen die zugehörigen \(\xi_\nu\) sukzessive berechnet werden, regulär bleiben) die zugehörigen Funktionswertsysteme \(\xi_\nu^\prime\) zu berechnen und als Punktmenge \(M'\) in \(C_n(P)\) zu deuten. Ist dann \(\mathfrak p\) das umfassendste Ideal in \(P[x_1,\dots, x_n]\), dessen Polynome in allen Punkten von \(M'\) verschwinden, so ist die durch \(\mathfrak p\) definierte irreduzible Mannigfaltigkeit \(M\) – die algebraische Abschließung von \(M'\) – die durch das Funktionensystem dargestellte Mannigfaltigkeit mit dem zugehörigen Ideal \(\mathfrak p\) und dem allgemeinen Punkt \(\xi_1\), …, \(\xi_n\). Umgekehrt besitzt jede irreduzible algebraische Mannigfaltigkeit wenigstens eine Parameterdarstellung, und ihre Dimensionszahl ist die Mindestanzahl der in eine Darstellung eingehenden Parameter.
Die reduziblen Mannigfaltigkeiten (\(\mathfrak m\) nicht prim) werden nun mit Hilfe des E. Noetherschen Satzes von der Darstellbarkeit eines Ideals \(\mathfrak m\) als kleinstes gemeinsames Vielfaches größter Primärkomponenten (in der die Komponentenanzahl und die zugehörigen Primideale eindeutig bestimmt sind) weiter untersucht. Die Primärkomponenten definieren dieselben Mannigfaltigkeiten, wie die zugehörigen Primideale, und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen entspricht die Vereinigungsmenge der Mannigfaltigkeiten. Insbesondere liefern diejenigen \(\mathfrak p'\), die noch in einem höher dimensionalen \(\mathfrak p\) enthalten sind, eingebettete Teilmannigfaltigkeiten.
In diesen Zusammenhang werden schließlich noch der Hilbertsche Nullstellensatz, der M. Noethersche Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen und (als dessen mehrdimensionale Verallgemeinerung) der Hentzeltsche Nullstellensatz (s. das folgende Referat) eingeordnet. (II 7, IV 6 C, V 5 F.)

MSC:

13-XX Commutative algebra
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML