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Zur Diskriminante einer Algebra. (German) Zbl 0013.00202
In §1 der vorliegenden Arbeit werden Diskriminante und Differente einer halbeinfachen Algebra in bekannter Weise (vgl. etwa M. Deuring [Algebren, Erg. d. Math. 4, Heft 1. Berlin: Springer (1935; Zbl 0011.19801), Kap. VI, §§5 u. 6] und H. Reichardt [J. Reine Angew. Math. 173, 31–34 (1935; Zbl 0011.24701)]) definiert. Für normale einfache Algebren ergeben sich Differenten- und Diskriminantensatz aus der Hasseschen Formel für die Differente. Da sich aber wie bei Zahlkörpern die Differente einer einfachen Algebra in bezug auf den Grundkörper als Produkt der Differente des Zentrums mit der Differente in bezug auf das Zentrum ergibt, so erhält man hieraus Differentensatz und Diskriminantensatz für beliebige einfache und halbeinfache Algebren.
In §2 wird die Diskriminante des direkten Produktes einer Maximalordnung \(\mathfrak S\) einer Algebra \(\mathfrak A\) vom Range \(N\) mit einer Maximalordnung \(\mathfrak T\) einer Algebra \(\mathfrak B\) vom Range \(M\) zu \(\mathfrak d_{\mathfrak S}^N\mathfrak d_{\mathfrak T}^M\) berechnet, unter \(\mathfrak d_{\mathfrak S}\) \((\mathfrak d_{\mathfrak T})\) die Diskriminante von \(\mathfrak S)\) \((\mathfrak T)\) verstanden. Daraus ergibt sich unter Benutzung der Hasseschen Differentenformel der folgende Satz von K. Shoda und Nakayama (= T. Nakamura) [Proc. Imp. Acad. Jap. 10, 443–446 (1934; Zbl 0010.19504)]:
Sind \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) beide einfach und normal, so ist \(\mathfrak S\times\mathfrak T\) dann und nur dann maximale Ordnung in \(\mathfrak A\times\mathfrak B\), wenn \(\mathfrak d_{\mathfrak S}\) und \(\mathfrak d_{\mathfrak T}\) teilerfremd sind.
Nimmt man aber \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) kommutativ, so ergibt sich unter Heranziehung des Differentenmultiplikationssatzes für die Differente von \(\mathfrak A\times\mathfrak B\):
Sind \(\mathfrak d_{\mathfrak S}\) und \(\mathfrak d_{\mathfrak T}\) teilerfremd, so ist \(\mathfrak S\times\mathfrak T\) die Maximalordnung von \(\mathfrak A\times\mathfrak B\).
Das ist eine Verallgemeinerung des Satzes 88 in Hilberts Zahlbericht.
In §3 werden verschränkte Produkte \((a, K, \mathfrak G)\) betrachtet. Hier werden solche Ordnungen eines verschränkten Produktes \((a, K)\) untersucht, die sich in die Form \(\sum u_S\mathfrak m_S\) \((\mathfrak m_S\) Ideale von \(K)\) setzen lassen (sie sind von Shoda in einer noch nicht erschienenen Arbeit eingeführt worden). \(\sum u_S\mathfrak m_S\) ist nur dann eine Ordnung, wenn \(\mathfrak a_{S,T} = a_{S,T} \frac{\mathfrak m_S^T\mathfrak m_T}{\mathfrak m_{ST}}\) ganze Ideale sind. Die Diskriminante dieser Ordnung berechnet sich zu \(\mathfrak d_K^n \prod_S N_{K/k}(\mathfrak a_{S, S^{-1}})\). Dabei ist \(n = (K:k)\) der Grad über dem Zentrum \(k\), und \(\mathfrak d_K\) bedeutet die Diskriminante von \(K/k\). Man folgert hieraus leicht einen Satz von E. Noether:
Zerfällt \((a,K)\) an allen Verzweigungsstellen von \(K\) und ist \((a_{S,T}) = \mathfrak c_S^T \mathfrak c_T/\mathfrak c_{ST}\), so zerfällt \((a,K)\) schlechthin.
Weiter wird der Fall untersucht, daß \(\sum u_S\mathfrak m_S\) eine Maximalordnung ist. Für den §3 vgl. man auch Reichardt (loc. cit.).
MSC:
16-XX Associative rings and algebras
11R54 Other algebras and orders, and their zeta and \(L\)-functions
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