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Étude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique. (French) Zbl 0082.31601
J. Inst. Polytechn., Osaka City Univ., Ser. A 8, 147-179 (1957).
Étude générale des relations entre les principes fondamentaux (balayage, équilibre, principes du maximum de Frostman et de Cartan) dans la théorie du potentiel par rapport à un noyau symétrique \(K\) [fonction \(K(x,y)=K(y,x)\) définie sur \(\Omega\times\Omega\), continue, positive, finie hors de la diagonale; \(\Omega\) désigne un espace localement compact donné]. L’A. utilise systématiquement une méthode variationnelle introduite dans des notes antérieures [J. Inst. Polytechn., Osaka City Univ., Ser. A 5, 97–100 (1954); 6, 83–91 (1955); Zbl 0068.08102] dont cet article est le développement: elle consiste à minimiser l’expression
\[ G(\mu,\nu) = \int U^\mu\,d\mu\;\int U^\nu\,d\nu\bigg / \left(\int U^\mu\,d\nu\right)^2 \] où \(\mu\) et \(\nu\) désignent deux mesures positives portées par deux boréliens disjoints, \(U^\mu\) et \(U^\nu\) leurs \(K\)-potentiels. Parmi les nombreux résultats, signalons les plus importants:
(a) le principe du maximum de Frostman (resp. de Cartan) entraîne que \(K\) est de type positif;
(b) le principe du balayage est équivalent au principe de Cartan;
(c) le principe d’équilibre est équivalent au principe de Frostman.
On donne également des critères pour les principes du maximum et le principe d’unicité des masses. On achève par quelques remarques concernant les noyaux de signe variable.
Notes du réf.: La méthode des ,,paires minimales” est originale et apporte une certaine uniformité dans une théorie où les artifices sont nombreux et disparates; son champ d’application semble malheureusement limité au cas des noyaux symétriques. Le problème de la détermination effective des noyaux satisfaisant à tel ou tel principe n’est pas abordé. Les résultats (a) et (c) sont nouveaux. A propos des travaux concernant les relations entre le principe du balayage et le principe du maximum de Cartan (appelé aussi principe de domination), it convient de mentionner, outre ceux, cités dans la bibliographie, de Cartan-Deny [Acta Sci. Math. 12, 81–100 (1950; Zbl 0038.26102)] et Choquet-Deny [C. R. Acad. Sci., Paris 243, 764–767 (1956; Zbl 0071.09903)], le mémoire fondamental de G. Hunt [Ill. J. Math. 1, 44–93 (1957); 1, 316–369 (1957); Zbl 0100.13804] paru simultanément. Enfin on doit répondre par la négative à la question posée dans l’introduction: pour un noyau de convolution dans \(R^n\), fonction décroissante de la distance à l’origine, le principe de Frostman entraîne-t’il celui de Cartan?
Reviewer: Jacques Deny

MSC:
31-XX Potential theory