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Séminaire Henri Cartan: Algèbres d’Eilenberg-MacLane et homotopie. 7e année 1954/55. Vols. I, II. Exposés I–XI, XII–XXII. (French) Zbl 0067.15601
École Normale Supérieure. Paris: Secrétariat mathématique. 234 p. (Hektograph.) (1955). Erratum Général. ibid., 13 p. (1956).
Dieses Seminar ist den von S. Eilenberg und S. MacLane [Ann. Math. (2) 46, 480–509 (1945; Zbl 0061.40702)] zuerst betrachteten Räumen \(\mathfrak K(\Pi, n)\) – das sind Räume mit Homotopiegruppen \(\pi_n=\Pi\), \(\pi_m= 0\) \((m\neq n)\) – und einigen ihrer zahlreichen Anwendungen gewidmet.
Im Exposé 1 gibt J.-P. Serre eine Zusammenstellung der wichtigsten topologischen Eigenschaften dieser Räume: ihre Homologiegruppen (vgl. Eilenberg-MacLane, loc. cit. und Ann. Math. (2) 58, 55–106 (1953; Zbl 0050.39304); 60, 49–139 (1954; Zbl 0055.41704); 60, 513–557 (1954; Zbl 0057.15302), Pontrjagin-Produkt in der Homologie, \(\mathfrak K(\Pi, n)\) als Räume geschlossener Wege, Serresche Faserungen (vgl. Serre, Ann. Math. (2) 54, 425–505 (1951; Zbl 0045.26003), \(\mathfrak K(\Pi, n)\) und Kohomologie-Operationen (vgl. z. B. Serre, Comment. Math. Helv. 27, 198–232 (1953; Zbl 0052.19501), \(\mathfrak K(\Pi, n)\) und Postnikovsche Systeme (M. M. Postnikov, Dokl. Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 76, 359–362 (1951; Zbl 0042.17201); K. Mizuno, J. Inst. Polytechn., Osaka City Univ., Ser. A 5, 41–51 (1954; Zbl 0057.15104)), Anwendung der Räume \(\mathfrak K(\Pi, n)\) in der Obstruktionstheorie (Eilenberg-MacLane, Zbl 0057.15302) und zur Berechnung von Homotopiegruppen [vgl. z. B. Cartan-Serre, C. R. Acad. Sci., Paris 234, 288–290 (1952; Zbl 0048.41303); 234, 393–395 (1952; Zbl 0049.40101)].
In den folgenden Exposés werden einige dieser Punkte bzw. ihre algebraischen Analoga ausführlich behandelt, nämlich: die Cartansche Methode der ,,Konstruktionen” (Cartan, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 40, 467–471 (1954; Zbl 0055.41801)) als algebraisches Analogon zu den Serreschen Faserungen, Kohomologie-Operationen, Postnikovsche Systeme und einiges weitere.
H. Cartan gibt in den Protokollen 2 bis 11 eine ausführliche Darstellung seiner Methode der ,,Konstruktionen” für \(DGA\)-Algebren, die die Eilenberg-MacLanesche Strichkonstruktion (bar construction; Eilenberg-MacLane, Zbl 0050.39304) als Spezialfall umfaßt, wobei als zusätzliches Element eine vermittelnde azyklische \(DGA\)-Algebra \(M\) hinzutritt (vgl. Cartan, loc. cit.), die das algebraische Analogon zu dem in sich zusammenziehbaren Faserraum der Wege in \(\mathfrak K(\Pi, n)\) mit festem Anfangspunkt, der in den Serreschen Untersuchungen (Zbl 0045.26003) auftritt, darstellt. Auf die zahlreichen Einzelheiten der Cartanschen Untersuchungen (z. B. auch bezüglich der Eilenberg-MacLaneschen Einhängungsoperation, den Bocksteinschen Operationen u. a.) kann hier nicht im einzelnen eingegangen werden. Es genüge anzuführen, daß die Untersuchungen mit einer expliziten Bestimmung der Homologiealgebren \(H_*(\Pi, n; \mathbb Z_p)\) und der Kohomologiealgebren \(H^*(\Pi, n; \mathbb Z_p)\) \((\mathbb Z_p = \) Restklassenkörper mod \(p\)) sowohl für den Fall einer ungeraden Primzahl \(p\) als auch für den Fall \(p = 2\) (vgl. hierzu auch Serre, Zbl 0052.19501) und der ganzzahligen Homologiealgebren \(H_*(\Pi, n; \mathbb Z)\) abschließt (vgl. hierzu auch die Voranzeige von Cartan, Zbl 0057.15302). Daß die Cartanschen Konstruktionen wirklich die Homologie der Räume \(\mathfrak K(\Pi, n)\) liefern, folgt aus dem Hauptsatz von Eilenberg-MacLane, Zbl 0050.39304, über den Zusammenhang zwischen Strichkonstruktion und \(W\)-Konstruktion.
In den Exposés 12 und 13 beweist J. C. Moore diesen Satz, durch den die Strichkonstruktion und damit auch die Cartanschen Konstruktionen in Beziehung gesetzt werden zu den Eilenberg-MacLaneschen Komplexen \(K(\Pi, n)\), die minimale Unterkomplexe der singulären Komplexe der Räume \(\mathfrak K(\Pi, n)\) sind.
In den Exposés 14 bis 17 behandeln H. Cartan und R. Thom Kohomologie-Operationen (vgl. z. B. Serre, Zbl 0052.19501 and Eilenberg-MacLane, Zbl 0057.15302) und entsprechende Homologie-Operationen. Und zwar wird die Theorie entwickelt für vollständige halbsimpliziale Komplexe. Insbesondere werden die additiven Kohomologie-Operationen eingehend untersucht und für den Fall \(H^n(X;\Pi)\to H^q(X;G)\) mit \(pG = 0\) \((p\) Primzahl) vollständig bestimmt. Sie lassen sich in gewissem Sinne auf iterierte Steenrod-Operationen und (veraligemeinerte) Bockstein-Operationen zurückführen. Die Steenrod-Operationen selbst werden durch Eigenschaften gekennzeichnet und ihre Existenz ohne Zurückgehen auf die explizite Steenrodsche Definition bewiesen. Weiter gibt H. Cartan einen Beweis seiner Produktformel für Steenrod-Operationen [C. R. Acad. Sci., Paris 230, 425–427 (1950; Zbl 0041.09903)] im Rahmen der Sätze der vorigen Protokolle, und Thom beweist einige Sätze über reelle Kohomologie, u. a., daß der reelle Kohomologiering eines in Sphären ungerader Dimension gefaserten Raumes, falls er orientierbar ist, nur von der charakteristischen Klasse des Raumes abhängt.
In den Exposés 18, 19, 21 betrachtet J. C. Moore Monoid-Komplexe. Das sind vollständige halbsimpliziale Komplexe, deren Simplexe in jeder Dimension ein Monoid (Menge mit assoziativer Verknüpfung) mit Einselement bilden. Für gewisse dieser Komplexe \(\Gamma\) werden Homotopiegruppen definiert, die mit den gewöhnlichen Homotopiegruppen übereinstimmen, falls \(\Gamma\) der singuläre Komplex des Raumes der geschlossenen Wege eines Raumes ist. Weiter werden minimale Monoidkomplexe definiert. Zu jeder abelschen Gruppe \(\Pi\) und ganzen Zahl \(n\) existiert genau ein minimaler Gruppenkomplex \(\Gamma\) mit \(\pi_n(\Gamma) = \Pi\), \(\pi_m(\Gamma) = 0\) \((m\neq n)\), nämlich der Gruppenkomplex \(\Gamma(\Pi, n)\), von dem \(K(\Pi, n)\) der zugehörige Gruppenring-Komplex ist. Jeder minimale abelsche Gruppenkomplex ist ein Produkt \(\times_{n=0}^\infty \Gamma(\pi_n(\Gamma), n)\). Weiter entwickelt Moore eine Theorie der Postnikovschen Systeme für Gruppenkomplexe, die analog ist zur Postnikovschen Methode für beliebige singuläre Komplexe (vgl. Postnikov, Zbl 0042.17201). Insbesondere wird die Bestimmung minimaler Gruppenkomplexe unter Zuhilfenahme von Postnikovschen Systemen untersucht.
Im Exposé 20 gibt J.-P. Serre einen Beweis des Satzes von P. J. Hilton [J. Lond. Math. Soc. 30, 154–172 (1955; Zbl 0064.17301)] über die Homotopiegruppen eines Sphären-,,Buketts” mit Anwendungen auf Homotopie-Operationen von mehreren Variablen, Jacobi-Identität für das Whitehead-Produkt, Verallgemeinerungen der Hopfschen Invarianten.
Auch im Exposé 22 (J. C. Moore) werden Verallgemeinerungen der Hopfschen Invarianten betrachtet, ferner die Freudenthalsche Einhängung, Süatze von Samelson-Bott, G. W. Whitehead [Ann. Math. (2) 57, 209–228 (1953; Zbl 0050.17501)] und IM James [Ann. Math. (2) 62, 170–197 (1955; Zbl 0064.41505); 63, 191–247 (1956; Zbl 0071.17002); 65, 74–107 (1957; Zbl 0077.36502)].
List of Exposés:
Issue no. 1
J.-P. Serre, Les espaces \(K(\Pi,n)\) (1–7);
H. Cartan, \(DGA\)-algèbres et \(DGA\)-modules (1–9);
H. Cartan, \(DGA\)-modules (suite), notion de construction (1–11);
H. Cartan, Constructions multiplicatives (1–8);
H. Cartan, Constructions multiplicatives itérées cohomologie (1–9);
H. Cartan, Opérations dans les constructions acycliques (1–11);
H. Cartan, Puissances divisées (1–11);
H. Cartan, Relations entre les opérations précédentes et les opérations de Bockstein; algèbre universelle d’un module libre gradué (1–9);
H. Cartan, Détermination des algèbres \(H_*(\Pi, n; \mathbb Z_p)\) et \(H^*(\Pi, n; \mathbb Z_p)\), \(p\) premier impair (1–10);
H. Cartan, Détermination des algèbres \(H_*(\Pi, n; \mathbb Z_2)\) et \(H^*(\Pi, n; \mathbb Z_2)\); groupes stables modulo \(p\) (1–8);
H. Cartan, Détermination des algèbres \(H_*(\Pi, n; \mathbb Z)\) (1–24);
Issue no. 2
J. C. Moore, Constructions sur des complexes d’anneaux (1–6); Erratum p. 1
J. C. Moore, Comparaison de la bar-construction à la construction \(W\) et aux complexes \(K(\Pi,n)\) (1–11);
H. Cartan, Opérations cohomologiques. I (1–12);
H. Cartan, Opérations cohomologiques. II (1–10);
H. Cartan, Opérations cohomologiques. III (1–14);
H. Cartan, La formule du produit pour les opérations de Steenrod (1–5);
R. Thom, Opérations en cohomologie réelle (1–10);
J. C. Moore, Homotopie des complexes monoïdaux. I (1–8);
J. C. Moore, Homotopie des complexes monoïdaux. II (1–7);
J.-P. Serre, Groupes d’homotopie des bouquets de sph\`res (1–7);
J. C. Moore, Systèmes de Postnikov et complexes monoïdaux (1–12);
J. C. Moore, Le théorème de Freudenthal, la suite exacte de James et l’invariant de Hopf généralisé (1–15).
Reviewer: E. Burger

MSC:
55-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to algebraic topology
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