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Séminaire de théorie du potentiel, dirigé par Marcel Brelot et Gustave Choquet. 1re année 1957. (French) Zbl 0082.31003
Paris: Faculté des Sciences de Paris. Sécretariat mathématique. Exposés 1 à 7, 72 p. (1958).
Ce séminaire comprenait sept exposés dont le dernier 7. G. Choquet (Détermination de noyaux satisfaisant au principe de balayage) est non polygraphié.
Liste des exposés retranscrits:
1. Gustave Choquet, Sur les fondements de la théorie fine du potentiel. Exp. No. 1, 10 p. 2. Linda Naïm, Sur l’allure à la frontière des fonctions surharmoniques positives. Exp. No. 2, 12 p.
3. J.-L. Doob, Le problème de Dirichlet généralisé. Interprétation probabiliste. Exp. No. 3, 1 p.
4. Linda Naïm, Application de la frontière de R. S. Martin à l’étude axiomatique du problème de Dirichlet. Exp. No. 4, 8 p.
5. Jacques Deny, Sur les espaces de Dirichlet. Exp. No. 5, 14 p.
6. Marcel Brelot, Une axiomatique générale du problème de Dirichlet dans les espaces localement compacts. Exp. No. 6, 16 p.
Le premier (G. Choquet: Sur les fondements de la théorie fine du potentiel, 10 p.) traite de notions et de propositions fondamentales dans ce que M. Choquet appelle la théorie fine du potentiel. Les notions fondamentales sont celles de noyau régulier, de capacité, de mesure normale ou singulière. Soit \(E\) un espace localement compact. Un noyau \(G\) est une application semi-continue inférieurement de \(E\times E\) dans \([0, +\infty]\). L’adjoint de \(G(x,y)\) est \(\check G(x, y) = G(y,x)\). \(\mathfrak M_+\) désignant le cône des mesures de Radon non négatives sur \(E\) muni de la topologie faible, \(S\,\mu\) désignant le support de \(\mu\in\mathfrak M_+\), on définit le \(G\)-potential relatif à \(\mu\): \(G\,\mu(x) = \int G(x,y)\, d\mu(y)\).
Un noyau \(G\) est dit régulier si pour tout \(\mu\in\mathfrak M_+\) de support compact \(G\mu\) est fini et continu dans \(E\) chaque fois que la restriction de \(G\mu\) à \(S\mu\) est finie et continue. \(G\) est dit très régulier si \(G\) et \(\check G\) sont réguliers, si \(G\) est fini et continu hors de la diagonale de \(E\times E\) et si \(G(x,x)=+\infty\) sur un ensemble de définition assez compliquée (cf. G. Choquet [Zbl 0073.32103)]). Lorsque \(G\) est régulier et \(S\,\mu\) compact ou réunion dénombrable de compacts, si \(G\mu\) est fini en tout point de \(S\,\mu\) il existe une suite croissante de mesures de \(\mathfrak M_+\) convergeant vers \(\mu\), soit \(\{\mu_n\}\), telles que les \(G\mu_n\) soient finis et continus dans \(E\) et que \(\{G\mu_n\}\to G\mu\). La \(G\)-capacité d’un compact \(K\subset E\) est la borne supérieure des \(\mu(k)\) pour toute \(\mu\in\mathfrak M_+\) telle que \(S\,\mu\subset K\) et que \(G\mu\leq 1\) dans \(E\). On étend cette notion de manière classique à tout ensemble \(X\subset E\) mais en général il faut distinguer entre capacité intérieure et extérieure. L’expression, \(G\)-quasi partout” est définie de manière évidente. Il est prouvé que si \(G\) est régulier et fini hors de la diagonale de \(E\times E\) il existe un ouvert de \(G\)-capacité arbitrairement petite hors duquel \(G\mu\) est fini et continu. Moyennant certaines conditions d’énoncé quelque peu compliqué, conditions très générales, un ensemble qui est de capacité nulle relativement à un noyau \(G\) l’est aussi relativement à \(\check G\). Un noyau \(G\) et une \(\mu\in\mathfrak M_+\) étant donnés, l’ensemble des \(x\) tels que \(G\mu(x)=+\infty\) est dénoté \(I(\mu)\) et est de \(\check G\)-capacité nulle. Une mesure \(\mu\in\mathfrak M_+\) est dite \(G\)-normale si \(\mu = \lim \mu_n\), où \(\{\mu_n\}\) est une suite croissante, \(\mu_n\in\mathfrak M_+\), telle que les \(G\mu_n\) sont finis et continus. Une mesure \(\mu\in\mathfrak M_+\) est dite \(G\)-singulière si aucune mesure de \(\mathfrak M_+\) inférieure à \(\mu\) n’est \(G\)-normale. Si \(G\) est régulier la trace d’une \(\mu\in\mathfrak M_+\) sur le complément de \(I(\mu)\) est \(G\)-normale. Si \(G\) est très régulier et \(\mu\) \(G\)-singulière, \(S\,\mu\) est de \(G\)-capacité nulle. Dans ce cas les mesures normales sont les mêmes pour \(G\) et pour \(\check G\) et pour toute \(\mu\in\mathfrak M_+\) les parties singulaire et normale de \(\mu\) sont ses traces sur \(I(\mu)\) et sur son complément.
Une dernière proposition a trait à une question de convergence. Soit \(G\) un noyau fini et continu hors de la diagonale de \(E\times E\); \(G\) et \(\check G\) sont supposés réguliers; \(E\) est maintenant supposé compact; alors pour toute suite convergente dans \(\mathfrak M_+\), \(\{\mu_n\}\to\mu\), telle que \(\{G\mu(x)\}\to f(x)\) \(\check G\)-quasi partout, on a \(G\mu(x) = f(x)\) \(\check G\)-quasi-partout.
Le second exposé (L. Naïm: Sur l’allure à la frontière des fonctions surharmoniques positives, 12 p.), très riche mais très condensé, est un sommaire des progrès réalisés dans l’étude des valeurs à la frontière de fonctions surharmoniques depuis environ 15 ans. Mlle Naïm introduit tout d’abord la notion d’espace de Green (cf. M. Brelot et G. Choquet [Ann. Inst. Fourier 3, 199–263 (1951; Zbl 0046.32701)]). Un tel espace \(\Omega\) définit d’une manière naturelle une fonction de Green \(G(x,y)=G(y,x)\). Toute mesure positive sur \(\Omega\) définit un potentiel de Green \(\nu(x) = \int G(x,y)\,dm(y)\). La mesure \(m\) est dite associée à \(\nu(x)\). La notion de balayage (ou d’extrémisation) s’étend au cas d’un espace de Green [cf. M. Brelot, J. Math. Pures Appl. (9) 24, 1–32 (1945; Zbl 0061.22802)].
Ayant rappelé ces notions, Mlle Naïm définit une frontière de Martin. On part d’un espare de Green \(\Omega\) et de la fonction de Green normalisée \(K(x,y)= G(x,y)/G(x,y_0)\), \(y_0\in \Omega\) qui vaut 1 lorsque \(x=y=y_0\). On peut montrer qu’il existe un espace compact \(\hat \Omega\supset \Omega\) dans lequel \(\Omega\) est partout dense tel que \(K(x,y)\) admet pour tous \(y\in \Omega\) une limite quand \(x\to x_0\in\Delta=\hat \Omega- \Omega\); \(\Delta\) est la frontière de \(\Omega\). \(\hat\Omega\) est métrisable et indépendant de \(y_0\). \(\Omega\) est un espace de Martin; \(\Delta\) est une frontière de Martin. Une analyse fine de \(\Delta\) permet d’y distinguer un sous-ensemble \(\Delta_1\) dont les points sont dits minimaux. (Cf. R. S. Martin [Trans. Am. Math. Soc. 49, 137–172 (1941; Zbl 0025.33302)].) Mlle Naïm montre comment appliquer ces notions à l’étude à la frontière d’une fonction surharmonique ou d’un potentiel de Green. Cette application se fait par l’intermédiaire des notions nouvelles d’effilement et de pseudo-limite. \(\hat\Omega\) étant un espace de Martin d’espace de Green \(\Omega\) et \(E\) un sous-ensemble de \(\Omega\), \(E\) est dit effile en un point \(x_0\in\Delta\) si, ou bien \(x_0\) est isolé dans \(\{x_0\}\cup E\), ou bien on peut construire un potentiel \(U =\int K(x,y)\,dm(y)\) de mesure \(m > 0\), tel que \(U(x_0)\leq \liminf_{x\to x_0} U(x)\), \(x\in E\), \(y_0\in\Omega\).
Mlle Naïm donne certains critères d’effilement. Leur démonstration est délicate. Le principal s’énonce ainsi: les points minimaux de \(\Delta\) sont ceux où \(\Omega\) n’est pas effié; pour qu’un ensemble \(E\subset Q\) soit effilé en \(x_0\) minimal il faut et suffit que l’extrémisation de \(K(x_0,y)\) sur \(\Omega - E\) ne conserve pas cette fonction. La pseudo-limite en un point \(x_0\) est la limite prise selon le filtre des ensembles de complémentaire effilé en \(x_0\). Ceci posé on introduit dans \(\Omega\) une fonction harmonique positive \(h\) et on appelle \(h\)-régulier tout point \(x_0\in A\) tel que \(G(x_0,y)/h(x)\to 0\) quand \(x\to x_0\). On démontre que pour tout \(x_0\) minimal et pour toute \(\nu(x)\) surharmonique positive dans \(\Omega\) \(\nu(x)/K(x_0,x)\) admet en \(x_0\) une pseudo-limite finie \(\geq 0\) égale à \(\liminf_{x\to x_0}\frac{\nu(x)}{K(x_0,x)}\) à la borne inférieure de \(\nu(x)/K(x_0,x)\) dans \(\Omega\) et à la mesure de \(x_0\) pour la mesure canoniquement associée à \(\nu\). On prouve aussi que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction harmonique positive \(h\) soit invariante par extrémisation sur \(E\subset \Omega\) est que les points d’effilement de \(\Omega - E\) situés sur \(\Delta\) forment un ensemble de mesure nulle pour la mesure associée à \(h\).
Enfin an montre que si \(\nu\) est le potentiel de Green d’une mesure positive \(m\) dans \(\Omega\), \(\nu/h\) (pour \(h\) défini comme ci-dessus) admet à la frontière de Martin une pseudolimite nulle sauf sur un ensemble de mesure nulle pour la mesure associée à \(h\). Un résultat relatif au principe général du maximum pour un espace de Green de frontière de Martin est celui-ci: Soit \(u\) sous-harmonique dans l’espace de Green \(\Omega\). On suppose \(u/h\) (\(h\) défini comme ci-dessus) borné supérieurement. On suppose aussi que pour tout \(x\) minimal hors d’un ensemble de mesure intérieure nulle pour la mesure associée à \(h\) il existe un ensemble \(E_x\) non effilé en \(x\) tel que \(\liminf_{_{\substack{ y\to x\\ y\in E_x}}} \frac{u(y)}{h(y)} \leq 0\). Alors \(u\) est \(\leq 0\).
L’exposé No. 3 (J.-L. Doob: Le problème de Dirichlet genéralisé. Interprétation probabiliste, 1 p.) a été l’objet de deux conférences. La première a été une analyse des résultats publiés par l’A. [Proc. 3rd Berkeley Sympos. Math. Stat. Probab. 2, 49–80 (1956; Zbl 0074.09101)]. La seconde a developpé certains résultats publiés aussi [Ill. J. Math. 2, 19–36 (1958; Zbl 0086.08403)] discutant leur rôle dans une théorie du problème de Dirichlet traitée par M. Brelot [J. Math. Pures Appl. (9) 35, 297–335 (1956; Zbl 0071.10001)]. Les méthodes de l’A. permettent de retrouver certains théorèmes dûs à Mme J. Lelong-Ferrand [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (3) 66, 125–159 (1949; Zbl 0033.37301)].
Exposé No. 4 (L. Naïm: Application de la frontière de R. S. Martin à l’étude axiomatique du problème de Dirichlet, 8 p.) est consacré à certaines généralisations du problème classique de Dirichlet, le domain \(\Omega\) relatif à ce probème étant un espace de Green (selon l’exposé No. 2). Une première généralisation suppose que \(\Omega\) est un sous-espace partout dense d’un espace métrique complet \(\check\Omega\) de frontière \(\check\Omega -\Omega\). Introduisant une fonction harmonique \(h\), positive dans \(\Omega\), et une fonction réelle \(f\) définie sur \(\check\Omega -\Omega\), on établit que les fonctions \(u\), sous-harmoniques, ou égales à \(\infty\), et telles que \(\limsup u/h \leq f\) en tout point frontière ont des enveloppes supérieures et inférieures qui, sous la condition que certains axiomes soient satisfaits, sont égales. On a alors un probième de Dirichlet relatif à \(\Omega\) et à la fonction harmonique \(h\). Une nouvelle généralisation est due à M. Brelot [Zbl 0071.10001]. On suppose que \(\Omega\) est un sous-espace partout dense d’un espace métrisable \(\bar\Omega\) de frontière \(\Gamma=\bar\Omega -\Omega\). Les enveloppes analogues aux précédentes sont introduites. A condition qu’un axiome relatif à la même fonction \(h\) qu’auparavant soit satisfait l’égalité des deux enveloppes définit la solution d’un probème du type de Dirichlet. Cette solution est représentable par une intégrale \(\int_\Gamma f \cdot\,d\mu_h^x\) où \(d\mu_h^x\) désigne une mesure de Radon sur \(\Gamma\). Considérant le compactifié de tout espace \(\check\Omega\), on obtient un espace du type \(\bar\Omega\). L’ancienne théorie est donc un cas particulier de la nouvelle.
Il est aisé de voir que l’espace de Martin est un espace du type \(\bar\Omega\). Dans ce dernier espace l’axiome introduit dans la seconde théorie est toujours vérifié. La question principale qui se pose à propos de tout problème de Dirichlet est celle de l’allure de la solution à la frontière. Dans le cas classique où \(\Omega\) est un domaine de l’espace euclidien on sait qu’il faut distinguer entre points réguliers et points irréguliers de la frontière. Dans la théorie de M. Brelot les choses sont beaucoup plus compliquées.
Selon certaines propriétés des filtres convergents vers des points de \(\Gamma\), on définit des points dits fortement, simplement, ou faiblement réguliers. La notion d’ensemble \(h\)-négligeable (de mesure nulle pour la mesure associée à \(h\)) étant définie, on sait seulement que dans le cas de l’espace de Martin l’ensemble des points frontières non faiblement \(h\)-réguliers est \(h\)-négligeable. Mlle Naïm déclare qu’on ne sait rien en général.
Le cas de l’espace de Martin est sommairement traité. Un point minimal \(x_0\) est dit pseudo-fortement régulier si le filtre formé des ensembles de complémentaire effilé en \(x_0\) est fortement \(h\)-régulier. Les points complémentaires de ces points forment un ensemble \(h\)-négligeable. Ce sont les points analogues aux points irréguliers de la théorie classique. Le cas général demande une étude beaucoup plus délicate. La notion centrale est la notion de pôle. Un espace de Green de type général définit deux frontières: sa frontière de Martin et la frontière désignée plus haut par \(\Gamma\). Si \(x\in\Delta\) est un point minimal, on lui associe le filtre \(\mathfrak F_x\) formé par les ensembles de complémentaire effilé en \(x\), filtre appelé filtre associé. Si un tel filtre converge pour la topologie de \(\bar\Omega\), son point limite est nommé pôle. L’existence d’un pôle équivaut à la propriété suivante de la fonction désignée par \(K(x,y) = K_x(y)\) dans l’exposé 2: cette fonction vérifie l’axiome de la théorie générale, à savoir que toute fonction finie continue sur \(\Gamma\) détermine une solution unique du problème de Dirichlet, ce qui s’exprime aussi en disant qu’elle est \(h\)-résolutive. Les filtres de type \(\mathfrak F\) définissent donc une application d’un sous-ensemble \(\Delta'_1\), de \(\Delta\) dans \(\Gamma\). \(\Delta'_1\) est le sous-ensemble des points minimaux de \(\Delta\) pour lesquels \(K_x\) définit un pôle unique sur \(\Gamma\). Cette application n’est en général ni biunivoque ni continue. Ces notions posées, la proposition suivante est aisée à établir:
Pour que l’axiome de la théorie générale soit vérifie par une fonction \(h\) il faut et il suffit que \(\Delta - \Delta'_1\) soit \(h\)-négligeable. Les points minimaux associés aux filtres \(\mathfrak F\) convergents dans \(\bar\Omega\) et non fortement réguliers pour \(\bar\omega\) forment alors un ensemble \(h\)-négligeable. La notion de pôle, permettant une considération simultanée des frontières \(\Delta\) et \(\Gamma\), permet de ramener tout problème de Dirichlet relatif à \(\bar\Omega\) à un problème analogue relatif à l’espace de Martin, la frontière de Martin conduisant à un probleme général de Dirichlet affiné par la déomposition de certains points de \(\Gamma\). La question de savoir si l’espace de Martin est le seul \(\bar\Omega\) où l’axiome mentionné ci-dessous est vérifié quelque soit \(h\) demeure une question ouverte.
Exposé No. 5 (J. Deny: Sur les espaces de Dirichlet, 14 p.): Soit \(X\) un domaine de \(\mathbb R^n\), \(n\geq 3\), et \(\xi\) la mesure de Lebesgue. Munissant l’espace des fonctions \(u\) indéfiniment dérivables à support compact dans \(X\) de la norme de Dirichlet: \(\| u\|^2 =\int |\mathrm{grad} u|^2\, dx\) on obtient un espace pré-Hilbertien dont la complétion est l’espace de Dirichlet classique. Le présent exposé traite d’une généralisation de ce concept due à A. Beurling, soit \(X\) un espace localement compact et \(\xi\) une mesure de Radon positive et partout dense sur \(X\). On considère les classes de fonctions de domaine \(X\), à valeurs complexes, localement sommables pour \(\xi\) (deux fonctions égales localement presque partout pour \(\xi\) appartenant à la même classe). Ces classes forment un espace de Hilbert \(D\) pourvu que les axiomes suivants soient satisfaits: (1) si \(\| u_n\| \to 0\), \(\int_K| u_n|\,d\xi\to 0\), pour tout compact \(K\subset X\); (2) \(C\cap D\) est dense dans \(C\) et dans \(D\), \(C\) désignant l’espace des fonctions continues sur \(X\); (3) toute contraction \(v\) de \(u\in D\) appartient à \(D\) et \(\| v\| \leq \| u\|\). [\(v\) est une contraction de \(u\) si pour tous \(x, y\in D\): \(| v(x)|\leq | u(x)|\), \(| v(x) - v(y)| \leq | u(x) - u(y)|\).]
Parmi les éléments de \(D\), certains sont appelés potentiels: \(u\in D\) est un potentiel s’il existe une mesure de Radon \(\mu\) (dite associée) telle que pour toute \(\Phi\in C\cap D\) on a \((u,\Phi) =\int \bar\Phi\, d\mu\). Si \(\mu\) est une mesure positive, \(u\) est un potentiel pur. On prouve aisément que les potentiels purs sont positifs et que pour qu’une \(u\in D\) soit un potentiel pur il faut et il suffit que \(R(u, v)\geq 0\) pour toute \(v\in D\) telle que \(R\,v\geq 0\). La théorie générale des potentiels dans un espace de Dirichlet de type générale comprend, dans l’exposé en question, deux théorèmes: le premier généralise les résultats classiques de l’équilibre électro-statique; l’autre donne les principes d’une méthode de balayage.
Dans une seconde partie, M. J. Deny considère ce qu’il appelle les espaces de Dirichlet spéciaux. Ce sont les espaces de Dirichlet tels que \(X\) est un groupe abélien localement compact et \(\xi\) sa mesure invariante. En outre l’axiome suivant doit être satisfait: pour tout \(x\in X\) la translatée d’une \(u\in D\) par \(x\) est un élément \(U_xu\) de \(D\) et l’application \(x\to U_x\) est une représentation unitaire de \(X\) dans \(L(D)\). La détermination d’espace de Dirichlet spéciaux se fait de la façon suivante: une fonction \(\lambda\) à valeurs complexes et définie dans un groupe abélien localement compact \(G\) est dite définie négative si pour tout système de \(n\) points \(x_i\in G\) la forme hermitienne \[ \sum_{i,j=1,\ldots,n}[\lambda(x_i)+\overline{\lambda(x_j)}-\lambda(x_i-x_j)]\rho_i\overline{\rho_j} \] est positive. On prouve le théorème suivant ainsi que sa réciproque: Si \(D\) est un espace de Dirichlet spécial sur le groupe abélien \(X\), il existe une fonction définie négative réelle (donc symmétrique hermitienne), soit \(\lambda\), définie sur le dual \(\hat X\) de \(X\) et dont l’inverse est sommable sur tout compact de \(X\), telle que pour tout \(u\in C\cap D\): \[ \| u\|^2=\int |\hat u(\hat x)|^2\lambda(\hat x)\,d\hat x. \] Dans le cas de \(\mathbb R^n\) tout espace de Dirichlet spécial contient les fonctions continûment dérivables à support compact et on a \[ \| u\|^2= C\int | u|^2\,dx+\sum_{i,j=1,\ldots,n} a_{ij}\int \frac{\partial u}{\partial x_i} \frac{\partial u}{\partial x_j}\,dx+\frac 12 \iint | u(x+y)-u(x)|^2 \, d \sigma (y)\, dx \] où \(C\) est une constante positive, les \(a_{ij}\) sont les coefficients d’une forme quadratique positive, \(\sigma\) est une mesure positive dans \(\mathbb R^n-\{0\}\), symmétrique, de mesure totale finie hors de tout voisinage de 0 et telle que \(\int _{| x|\leq 1} | x|^2\,d\sigma(x)<\infty\).
M. Brelot esquisse dans l’exposé No. 6 (Une axiomatique générale du problème de Dirichlet dans les espaces localement compacts, 16 p.) une axiomatique du problème de Dirichlet dans un espace \(\Omega\) localement compact, non compact, connexe et localement connexe. Il déclare dans sa conclusion que les axiomes proposés et le problème général ne sont sans doute que provisoires et qu’il reste en tous cas à introduire une fonction de Green et à généraliser la frontière de Martin. Adoptant sur \(\Omega\) la topologie du compactifié selon Alexandroff on désignera par \(\bar e\) et \(e\), l’adhérence et la frontière d’un ensemble \(e\). On se donne dans chaque ouvert partiel un sous-espace vectoriel de fonetions réelles finies continues, appelées fonctions principales. (Par exemple les fonctions harmoniques dans chaque ouvert d’un espace euclidien.) Les axiomes proposés sont les suivants, omettant certaines formes équivalentes indiquées par l’auteur:
I. Si \(u\) est principale dans \(\omega\) ouvert, elle l’est dans \(\omega_i\subset\omega\); si elle est principale dans \(\omega_i\) elle l’est dans \(\cup \omega_i\).
II. Dans \(\omega\) connexe un ordonné filtrant croissant de fonctions principales tend vers \(+\infty\) ou vers une fonction principale.
III. Pour tout ouvert \(\omega\subset \bar\omega\subset\Omega\) si \(u\) est principale dans \(\omega\) et s’annule à la frontière, \(u=0\).
IV. \(\omega\) ouvert est dit régulier si \(\bar\omega\subset\Omega\) et si toute fonction \(\theta\) finie continue sur \(\omega'\) se prolonge continûment dans \(\omega\) par une fonction principale dans \(\omega\) notée \(H_\theta^\omega(x)\). C’est pour \(x\) fixe une fonctionnelle croissante qui s’écrit sous forme intégrale \(\int \theta\cdot d\rho^x\) désignant une mesure de Radon positive sur \(\omega'\). Ceci dit il est naturel de définir le problème de Dirichlet pour tout ouvert \(\omega\) régulier. Soit \(\Psi\) semi-continue inférieurement et \(> -\infty\) sur \(\omega'\). On pose \[ H_\Psi^\omega(x) = \sup_{\theta\leq\Psi} H_\theta^\omega =\int \Psi\cdot d\rho^x. \] Cette fonction, d’après II est principale ou \(= +\infty\). Pour \(f\) réelle quelconque sur \(\omega'\) on pose \[ \overline{H}_f^\omega(x) = \inf_{f\leq\Psi} H_\Psi^\omega = \overline{\int} f\cdot d\rho^x. \] Cette fonction ou bien est principale ou bien est \(=\pm\infty\) dans chaque domaine. On définit de manière analogue \(\underline{H}_f^\omega\). Si \(f\) est quelconque mais bornée supérieurement on prouve que \[ \overline{\lim}_{x\in\omega, x+x_0\in\omega'} \overline{H}_f \leq \overline{\lim}_{x\to x_0} f. \] Au cas où \(\underline{H}_f = \overline{H}_f\) en un point l’égalité a lieu dans tout le domaine contenant ce point. La fonction ainsi définie est notée \(H_f\) ou, sous forme intégrale \(\int f\cdot d\rho^x\); \(d\rho^x\) ne charge que la composante connexe de \(x\) dans \(\omega\) et, si \(\omega\) est connexe \(d\rho^x\) charge tout voisinage de tout point frontière. La mesurabilité, la sommabilité et les ensembles de mesure nulle sont définis par \(d\rho^x\) indépendamment de \(x\). \(H_f^\omega(x)\) est la solution d’un problème de Dirichlet pour \(\omega\). Il est moins aisé de définir le problème de Dirichlet dans l’espace \(\Omega\). Il faut introduire des notions nouvelles: ce sont les notions de fonctions hypo- et hyperprincipales qui généralisent de facon naturelle les notions classiques de fonction sous-harmoniques et de fonction surharmoniques. Considérant alors une fonction principale \(h > 0\) et les quotients \(u/h\) où \(u\) est principale, hypo- ou hyperprincipale, on obtient les notions de fonction \(h\)-principales, \(h\)-hypo- ou hyperprincipale. Un ensemble de fonctions, soit \(V\) est dit saturé si \(v_1, v_2\in V\) implique que \(\inf(v_1, v_2)\in V\). Si \(\omega_1\subset\overline{\omega_1}\subset\omega\) est régulier \(H_v^{\omega_1}\in V\) pour tout \(v\in V\). On prouve que l’enveloppe inférieure d’un ensemble saturé de fonctions hyperprincipales dans un ouvert connexe est ou bien principale ou bien \(= \pm\infty\).
Soit alors \(U\) un ensemble de fonctions hypoprincipales dans l’ouvert \(\omega\). Les fonctions hyperprincipales majorant \(U\) forment un ensemble saturé dont l’enveloppe inférieure est appelé majorante essentielle. Cette fonction est ou bien principale ou bien \(= \pm\infty\). La minorante essentielle se définit de facon analogue. On prouve que l’extension saturée \(\overline{U}\) d’un ensemble \(U\) de fonctions hypoprincipales dans \(\omega\) a même majorante essentielle que \(U\) et c’est l’enveloppe supérieure de \(\overline{U}\). Les fonctions réelles sur \(\omega\) ordonnées par l’inégalité partout forment un ensemble réticulé et les différences de fonctions principales forment un espace vectoriel de Riesz au sens de N. Bourbaki. On considère maintenant:
A. un ensemble \(\mathfrak B\) dit fondamental de fonctions hyperprincipales dans \(\Omega\), ensemble saturé, contenant toute combinaison linéaire à coefficients positifs de ses éléments et toute majorante hyperprincipale d’une fonction de l’ensemble;
B. un ensemble \(\mathfrak L\) de filtres \(\mathfrak F\), nul n’ayant de points adhérents dans \(\Omega\) et appelés limitateurs de \(\mathfrak B\). Ils sont tels que si \(v\in \mathfrak V\), \(v\geq 0\), \(\underline{\lim}_{\mathfrak F} v\geq 0\) si \(v, -v\in \mathfrak V\) et si \(\lim_{\mathfrak F} v = 0\), \(v = 0\).
On démontre que si l’on sur considère sur le limitateur \(\mathfrak L\) de \(\mathfrak V\) une fonction réelle \(f(\mathfrak F)\) et si on considère toutes les fonctions \(v\in \mathfrak V\) satisfaisant à, \(\lim_{\mathfrak F} v \geq f(\mathfrak F)\), \(> -\infty\), ces fonctions forment un ensemble (vide ou non) saturé dont l’enveloppe inférieure, notée \(\overline{\mathfrak H}_f\), est sa minorante essentielle et vaut \(+\infty\), \(-\infty\), ou est une fonction principale. \(\underline{\mathfrak H}_f\) se définit de façon analogue. L’égalité \(\underline{\mathfrak H}_f = \overline{\mathfrak H}_f\) si elle a lieu en un point a lieu partout et la valeur commune est la solution désirée d’un problème de Dirichlet généralisé. On dit alors que \(f\) est résolutive.
Quelques exemples sont étudiés par l’A. En particulier il suppose \(\Omega\) partout dense dans un espace métrique et compact \(E\), les constantes étant fonctions principales. Si les fonctions finies continues sur \(E-\Omega\) sont résolutives on retombe sur l’axiomatique et les problèmes traité par Mlle Naïm dans ses deux exposés.
Reviewer: C. Racine

MSC:
31-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to potential theory
00B15 Collections of articles of miscellaneous specific interest
31C25 Dirichlet forms
31C35 Martin boundary theory
31C40 Fine potential theory; fine properties of sets and functions
31D05 Axiomatic potential theory
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