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Équations diophantiennes et géométrie des courbes. (French) Zbl 0195.33004
Sémin. Delange-Pisot-Poitou 10 (1968/69), Théorie Nombres, Exp. No. 19, 16 p. (1969).
Introduction: Cet exposé relatif aux équations diophantiennes, c’est-á-dire aux solutions d’équations en nombres entiers ou rationnels, d’un type particulier (on étudie les équations: (E) \(y^2=x^3+ax^2+bx+c)\), est centré sur le théorème de L. J. Mordell [Proc. Camb. Philos. Soc. 21, 179–192 (1922; JFM 48.0140.03)], et a pour but de présenter les généralistaions de ce théorème, ainsi que de poser quelques problèmes qui en découlent.
Le paragraphe 1 introduit la réduction des cubiques non singulières à la forme de Weierstrass (E), et en donne une représentation dans \(\mathbb C\).
De la même manière que dans le cas complexe, on montre que l’ensemble des solutions rationnelles de (E) peut être muni d’une structure de groupe abélien (sous-groupe du groupe obtenu dans la cas complexe). Ce groupe ets de rang fini, c’est le théorème de Mordell, la démonstration constitute le paragraphe 2.
Le paragraphe 3 est consacré aux extensions du théorème de Mordell, dans le cas où en remplace \(\mathbb Q\) par un corps de nombres algébriques (théorème de Weil) ou par un corps de fonctions (théorème de S. Lang et A. Néron [Am. J. Math. 81, 95–118 (1959; Zbl 0099.16103)]), ainsi qu’aux conjectures sur le rang du groupe obtenu.
Enfin, on s’attachera dans le paragraphe 4, à l’étude des point entiers (résultats de Siegel) et des point exceptionnels (résultats de T. Nagell [Skr. Norske Vid.-Akad., Oslo 1935, No. 1, 1–25 (1935; Zbl 0011.14702)] et de E. Lutz [J. Reine Angew. Math. 177, 238–247 (1937; Zbl 0017.05307, JFM 63.0101.01)]).
MSC:
11D25 Cubic and quartic Diophantine equations
Full Text: Numdam EuDML