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On the singularity degree of subrings in function fields. (Über den Singularitätsgrad von Teilringen in Funktionenkörpern.) (German) Zbl 0102.27801
Es sei \(R\) eine Ordnung eines algebraischen Funktionenkörpers \(K\) einer Variablen über dem Konstantenkörper \(k\), \(R'\) der ganze Abschluß von \(R\) in \(K\) und \(F_R\) der Führer von \(R'\) nach \(R\). Dann heißt \(\delta = \dim_k(R'/R)\) der Singularitätsgrad und \(d = \dim_k (R'/F_R)\) der Führergrad von \(R\). Läßt sich \(R\) über \(k\) durch zwei Elemente erzeugen, \(R=k[x, y]\) (ebene Kurve), so gilt nach Samuel und Gorenstein \(d= 2\delta\). Verf. bemerkt, daß sich der Beweis dieser Gleichung wesentlich vereinfacht, wenn man allgemeiner zeigt, daß für alle \(R\)-Ideale \(A\) die Reflexivität \((A^{-1})^{-1}= A\) gilt. Wegen \(F_R= {R'}^{-1}\) als \(R\)-Ideal folgt daraus dann die obige Gradrelation. Verf. zeigt, daß diese Reflexivität für \(R\) gilt, wenn \(R\) in Verallgemeinerung der obigen Situation über einem Hauptidealring \(R_0\) durch Adjunktion eines \(R_0\)-ganzen Elementes erzeugt wird und kein Element von \(R_0\) Nullteiler in \(R\) ist. Dieser im Zahlkörperfall schon auf Dedekind zurückgehende Satz wird durch Einführung einer passenden verallgemeinerten Spurfunktion (Inseparabilität !) wie bei Dedekind geführt. Ferner wird gezeigt, daß die Reflexivität eines Ideales mit Lokalisierung und Komplettierung verträglich ist. Man erhält so mittels der Strukturtheorie von Cohen für komplette lokale Ringe aus obigem Satz: Ist \(R\) ein eindimensionaler lokaler Ring, dessen maximales Ideal durch zwei Elemente erzeugbar ist und einen Nichtnullteiler enthält und gilt ferner im charakteristikungleichen Fall, daß \(R\) unverzweigt und die Charakteristik des Restklassenringes kein Nullteiler in \(R\) ist, so ist in \(R\) jedes Ideal, das einen Nichtnullteiler enthält, reflexiv. Umgekehrt folgt aus diesem Satz wieder der oben angegebene.
Dieser Schluß vom Lokalen auf das Globale scheint dem Referenten angemessener zu sein, zumal sich der lokale Satz ohne die zusätzlichen Voraussetzungen im charakteristikungleichen Fall durch eine einfache idealtheoretische Überlegung zeigen läßt. Das wurde vom Ref. in [Math. Ann. 146, 98–102 (1962; Zbl 0115.03303)] gezeigt und folgt auch aus Teil II der vorliegenden Arbeit [J. Reine Angew. Math. 209, 12–16 (1962; Zbl 0105.02904); Berichtigung 211, 191 (1962)], wenn man noch beachtet, daß nach einem Resultat von E. F. Assmus jun. [Ill. J. Math. 3, 187–199 (1959; Zbl 0085.02401)] jeder eindimensionale lokale Ring, dessen maximales Ideal von zwei Elementen erzeugt werden kann und einen Nichtnullteiler enthält, vollständiger Durchschnitt ist.
Reviewer: Robert Berger

MSC:
11R54 Other algebras and orders, and their zeta and \(L\)-functions
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
13H05 Regular local rings
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Full Text: DOI EuDML