×

zbMATH — the first resource for mathematics

On diophantine approximations of the Rogers-Ramanujan continued fraction. (English) Zbl 0790.11051
Sei \(F\) die durch \(F(t):= \sum_{k\geq 0} q^{k^ 2} t^ k/(1- q)\cdots (1- q^ k)\) definierte spezielle \(q\)-hypergeometrische Reihe; diese genügt der Funktionalgleichung \[ qt F(q^ 2 t)+ F(qt)= F(t). \tag{1}\] Mittels der klassischen Hurwitzschen Methode, die auf sukzessiver Iteration von (1) beruht, beweist Verf. folgenden Satz:
Sei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper vom Grad \(\kappa\) über \(\mathbb{Q}\), sei \(p\) entweder \(\infty\) oder eine Primzahl und seien \(t,q\in K\backslash \{0\}\) mit \(| q|_ p<1\) und (2) \(d(q)^ \kappa| q|^ 2_ pM(q)< 1\), so gilt die Aussage \(F(t)/F(qt)\not\in K\). Dabei bezeichnen \(d(q)\) bzw. \(M(q)\) den Nenner bzw. das Mahlersche Maß von \(q\) und \(|\cdot|_ p\) für \(p=\infty\) den gewöhnlichen Absolutbetrag bzw. für eine Primzahl \(p\) den durch \(| p|_ p= p^{-1}\) normierten \(p\)-adischen Betrag. Die Aussage des Satzes bleibt richtig, falls in (2) Gleichheit eintritt; allerdings hat man dann eine zusätzliche Bedingung für \(\kappa\), \(t\), \(q\) zu fordern, die zudem für \(p=\infty\) bzw. \(p\neq \infty\) unterschiedlich ausfällt.
Außerdem wird unter der Voraussetzung (2) die Ungleichung \[ \log| F(t)/F(qt)- M/N|_ p\gg -2\kappa(1+ A_ p)\log H-B_ p\sqrt{\log H} \]
für alle ganzen \(M,N\in K\) mit \(N\neq 0\) und \(H:=\max\{\overline{\vert M\vert},\overline{\vert N\vert}\}>1\) gezeigt, wobei \(A_ p\), \(B_ p\) nichtnegative reelle effektiv angebbare Zahlen sind, die höchstens von \(F\), \(\kappa\), \(t\) und \(q\) abhängen. Wie üblich bezeichnet \(\overline{\vert a\vert}\) das Haus einer algebraischen Zahl.
Im Spezialfall \(K=\mathbb{Q}\), \(p=\infty\) reduzieren sich die Resultate des Verf. auf solche von C. F. Osgood [J. Number Theory 3, 159–177 (1971; Zbl 0218.10051)] und dem Ref. [Invent. Math. 9, 175–184 (1970; Zbl 0188.10801)].

MSC:
11J72 Irrationality; linear independence over a field
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI