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Mertens’ conjecture – a hundred years. (100 Jahre Mertenssche Vermutung.) (German) Zbl 1169.11317

From the text: In diesem Artikel wird der Zahlentheoretiker Franz Carl Josef Mertens (1840–1927) kurz vorgestellt, und die Geschichte der nach ihm benannten Vermutung bis zu ihrer Widerlegung. Am bekanntesten wurde Mertens durch die nach ihm benannte Vermutung. Es geht hier um Abschätzungen von Summen über die Möbiussche \(\mu\)-Funktion \[ \mu(n) = \begin{cases} 1 \text{ für }\;n = 1 \\ 0 \text{ wenn }\;n \text{ durch ein Quadrat }\;> 1 \text{ teilbar ist},\\ (-1)^k \text{ wenn }\;n \text{ Produkt von } k \text{ verschiedenen Primzahlen ist}.\end{cases} \]
Sei \(M(x) =\sum_{n\leq x} \mu(n)\) für \(x > 1\). \(M(x)\) ist dann die Differenz zwischen der Anzahl der quadratfreien natürlichen Zahlen \(\leq x\) mit einer geraden Anzahl von Primfaktoren und der mit einer ungeraden Anzahl. Der Zusammenhang dieser Summen mit der Riemannschen Vermutung war um diese Zeit ein zentrales Thema der analytischen Zahlentheorie. Mertens hat die Werte von \(M(x)\) bis 10.000 berechnet und festgestellt, daßimmer \(| M(x)| \leq\sqrt x\) gilt, er dies aber nicht für alle \(x\) beweisen kann [Wien. Ber. 106, 761–830 (1897; JFM 28.0177.01)].
Robert Daublebsky von Sterneck (1871–1928) (ebenfalls an der Universität Wien tätig) hat diese Berechnungen bis 150.000 weitergeführt und die Vermutung auch für diesen Bereich bestätigt [Wien. Ber. 106, 835–1024 (1897; JFM 28.0178.01)]. Er hat dann sogar vermutet. daß\(| M(x)| x^{1/2} < 1/2\) sei.
Sterneck hat in weiteren Arbeiten den betrachteten Bereich bis zur Grenze 5,000.000 stark erweitert [Wien. Ber. 110, 1053–1102 (1901; JFM 32.0200.02), Wien. Ber. 121, 1083–1096 (1912; JFM 43.0249.02)] und damit die Richtigkeit der Vermutung wahrscheinlicher gemacht.
1963 hat G. Neubauer [Numer. Math. 5, 1–13 (1963; Zbl 0111.04702 )] mit numerischen Berechnungen gezeigt, daßdie Sterneck-Vermutung bei \(7.7\times 10^9\) falsch ist. 1976 zeigten W. Jurkat und A. Peyerimhoff [J. Reine Angew. Math. 286/287, 322–340 (1976; Zbl 0332.10030)], daßder Wert von \(\lim \sup | M(x)| x^{1/2}\) mindestens \(0.75\) beträgt, wobei sowohl theoretische Überlegungen als auch numerische Methoden benützt wurden. Endgültig widerlegt wurde die Mertensche Vermutung dann durch A. Odlyzko und H. J. J. te Riele 1985 [J. Reine Angew. Math. 357, 138–160 (1985; Zbl 0544.10047)]. Ihre Methoden sind numerisch. Sie verwenden mehr als 10.000 Nullstellen der Zetafunktion mit 28 Dezimalstellen und den Lenstra-Lenstra-Lovász-Algorithmus.

MSC:

11N56 Rate of growth of arithmetic functions
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