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Polynomial functors from algebras over a set-operad and nonlinear Mackey functors. (English) Zbl 1316.18004
Cet article constitue une contribution importante à la classification des foncteurs polynomiaux dans un contexte algébrique. Plus précisément, soient \(\mathcal{C}\) une petite catégorie pointée (i.e. ayant un objet nul) possédant des coproduits finis, \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne (les auteurs se limitent à la catégorie des groupes abéliens, mais leurs arguments valent plus généralement) et \({\mathrm {Func}}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{A}\). S. Eilenberg et S. MacLane [Ann. Math. (2) 60, 49–139 (1954; Zbl 0055.41704)] ont défini (dans le cas où \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{A}\) sont des catégories de modules, mais la même définition et les mêmes propriétés de base valent dans le cadre plus général où l’on se place ici) une notion de foncteur polynomial de degré au plus \(n\) (la \(n\)-éme puissance tensorielle étant un exemple typique de foncteur polynomial de degré \(n\)); soit \({\mathrm {Func}}_{\leq n}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) la sous-catégorie pleine de \({\mathrm {Func}}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) des foncteurs polynomiaux de degré au plus \(n\) (c’en est une sous-catégorie épaisse stable par limites et colimites). Dans la section 3 de l’article, les auteurs donnent des rappels généraux sur cette notion; ils rappellent également d’importantes motivations à leur étude dans l’introduction. La raison originelle de leur introduction par Eilenberg et Mac Lane provient de ce que l’homologie singuliére des espaces topologiques \(K(V,n)\) qui portent désormais leurs noms est, en chaque degré homologique et pour chaque entier \(n\) fixé, un foncteur polynomial de \(V\) ; d’autres motifs à l’étude des foncteurs polynomiaux (entre espaces vectoriels sur un corps fini) venant de la topologie algébrique sont apparus ultérieurement, à partir des modules instables sur l’alébre de Steenrod (cf. [H.-W. Henn et al., Am. J. Math. 115, No. 5, 1053–1106 (1993; Zbl 0805.55011)]). Les foncteurs polynomiaux s’avrent aussi très utiles en théorie des représentations, en \(K\)-théorie algébrique ou pour le calcul de l’homologie stable de famille de groupes classiques (symétriques, linéaires, orthogonaux…) à coefficients tordus (voir par exemple [A. Djament and C. Vespa, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 43, No. 3, 395–459 (2010; Zbl 1221.20036)]).
La structure de la catégorie de foncteurs \({\mathrm {Func}}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) est généralement très difficile d’accès, même lorsque \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{A}\) sont des catégories très raisonnables (comme des catégories d’espaces vectoriels); les catégories de foncteurs polynomiaux \({\mathrm {Func}}_{\leq n}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) s’avèrent beaucoup plus abordables (par exemple, elles possèdent des propriétés de finitude plus nombreuses et plus faciles à montrer). Un résultat de classification dû à T. I. Pirashvili [in: Tr. Tbilis. Mat. Inst. Razmadze 91, 55–66 (1988; Zbl 0705.18009)] (dans le cas où la catégorie source \(\mathcal{C}\) est la catégorie des modules projectifs de type fini sur un anneau donné, mais le cas général d’une catégorie pointée avec coproduits finis se traite de la même façon) affirme que, pour tout entier naturel \(n\), la catégorie abélienne quotient \({\mathrm {Func}}_{\leq n}(\mathcal{C},\mathcal{A})/{\mathrm {Func}}_{\leq n-1}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) est équivalente à la catégorie des multifoncteurs multiadditifs symétriques de \(n\) variables dans \(\mathcal{C}\to\mathcal{A}\), c-’est-à-dire à la catégorie des foncteurs \(F: \mathcal {C}^n\to{\mathcal {A}}\) munis d’isomorphismes \(F(X_1,\dots,X_n)\simeq F(X_{\sigma(1)},\dots,X_{\sigma(n)})\) (vérifiant les conditions de cohérence habituelles) pour tous objets \(X_1,\dots,X_n\) de \(\mathcal{C}\) et toute permutation \(\sigma\) de \(\{1,\dots,n\}\) et tels que tous les foncteurs \(F(X_1,\dots,X_{i-1},-,X_{i+1},\dots,X_n): \mathcal{C}\to\mathcal{A}\) soient additifs (i.e. monoïdaux au sens fort). Mais la compréhension fine de \({\mathrm {Func}}_{\leq n}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) se révèle nettement plus ardue, dès le cas \(n=2\), comme en atteste le travail légèrement antérieur des premier et troisiéme auteurs [M. Hartl and C. Vespa, Adv. Math. 226, No. 5, 3927–4010 (2011; Zbl 1235.18002)].
Le premier résultat significatif de l’article ne concerne pas directement les foncteurs polynomiaux: il s’agit d’une équivalence de Morita à plusieurs objets, c’est-à-dire d’une équivalence entre deux catégories de foncteurs (de but la catégorie des groupes abéliens). Plus précisément, soit \(\mathcal{P}\) une opérade ensembliste et \({\mathrm {Free}}(\mathcal{P})\) la catégorie des \(\mathcal{P}\)-algèbres libres de type fini. Les auteurs introduisent (dans la section 2 de l’article) plusieurs catégories, qui sont des variantes de la PROP associée à l’opérade \(\mathcal{P}\), dont l’une, \(\Omega(\mathcal{P})\), se réduit à la catégorie \(\Omega\) des ensembles finis avec surjections lorsque \(\mathcal{P}\) est l’opérade commutative. Le Theorem 1.1 montre que la catégorie \({\mathrm {Func}}({\mathrm {Free}}(\mathcal{P}),\mathbf{Ab})\) est équivalente à la catégorie des pseudo-foncteurs de Mackey de \(\Omega(\mathcal{P})\) vers les groupes abéliens. Nous ne donnerons pas ici la définition, assez technique, d’un pseudo-foncteur de Mackey (voir le §2.3 de l’article), disons simplement qu’un pseudo-foncteur de Mackey entre deux catégories (où la source est munie d’une structure additionnelle) est la donnée de deux foncteurs, l’un covariant, l’autre contravariant, entre celles-ci, dont les valeurs coïncident sur les objets et dont les effets sur les morphismes vérifient certaines propriétés de compatibilité (dépendant de la structure additionnelle sur la source).
La démonstration de ce résultat est explicite et assez élémentaire, mais longue et technique. Dans le cas (très nettement plus simple que le cas général) de l’opérade commutative, le Theorem 1.1 se réduit au théorème de Pirashvili à Dold-Kan [T. Pirashvili, Math. Ann. 318, No. 2, 277–298 (2000; Zbl 0963.18006)] selon lequel la catégorie \(\Omega\) (des ensembles finis avec surjections) est équivalente au sens de Morita à la catégorie \(\Gamma\) des ensembles finis pointés. Cette démonstration du Theorem 1.1, à défaut de posséder une explication intuitive ou conceptuelle rapide, présente l’avantage de donner une équivalence de catégories dans laquelle on peut lire immédiatement le degré polynomial des foncteurs (c’est limpide dans le cas particulier de \(\Omega\) et \(\Gamma\), où l’une des équivalences est donnée par un effet croisé). De fait, les auteurs montrent (Corollary 5.9) qu’un foncteur \({\mathrm {Free}}(\mathcal{P})\to\mathbf{Ab}\) appartient à \({\mathrm {Func}}_{\leq n}({\mathrm {Free}}(\mathcal{P}),\mathbf{Ab})\) si et seulement si le pseudo-foncteur de Mackey \(\Omega(\mathcal{P})\to\mathbf{Ab}\) associé est nul sur les ensembles de cardinal strictement supérieur à \(n\) (les objets de \(\Omega(\mathcal{P})\) sont les mêmes que ceux de \(\Omega\)). Dans le cas de l’opérade commutative, les auteurs retrouvent les résultats de [H.-J. Baues et al., Bull. Soc. Math. Fr. 129, No. 2, 237–257 (2001; Zbl 0995.18004)]. Ils examinent aussi en détail le cas (nouveau) de l’opérade associative. Ils montrent (Theorem 1.2) que, pour tout entier \(n\), le foncteur de complétion en groupe de la catégorie des monoïdes libres de type fini vers la catégorie des groupes libres de type fini induit une équivalence entre les catégories de foncteurs polynomiaux de degré au plus \(n\) vers les groupes abéliens. La dernière section de l’article est consacrée à l’application des résultats généraux à la détermination de présentations explicites de certaines catégories de foncteurs polynomiaux.

MSC:
18A25 Functor categories, comma categories
18E15 Grothendieck categories (MSC2010)
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