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Self-transformations of determinantal quartic surfaces. I, II, III, IV. (English) Zbl 0036.37501
Proc. Lond. Math. Soc. (2) 51, 348-361 (1950); 51, 362-382 (1950); 51, 383-387 (1950); 51, 388-400 (1950).
Eine quaternäre trilineare Form \(F = \sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 \sum_{k=1}^4 a_{ijk}x_iy_jz_k\), in der die homogenen Punktkoordinaten \(x\), \(y\) und \(z\) aus drei linearen \(R_3\) miteinander verbunden sind, bestimmt in diesen drei Räumen je eine Fläche vierter Ordnung \(\Pi_x\), \(\Pi_y\), bzw. \(\Pi_z\), gegeben durch die Gleichungen \[ \operatorname{Det}_{jk\vert \sum_\lambda a_{\lambda jk}} x_\lambda = 0,\quad \operatorname{Det}_{ik\vert \sum_\mu a_{i\mu k}} y_\mu = 0,\quad \operatorname{Det}_{ij\vert \sum_\nu a_{ij\nu}} x_\nu = 0. \] Durch \(F\) wird eine \((3,3)\)-Cremonatransformation je zweier dieser Flächen \(\Pi\) aufeinander vermittelt. Ist nämlich \(p\) ein Punkt auf \(\Pi_x\), so gibt es auf \(\Pi_y\) eindeutig einen Punkt \(q\) als Schnittpunkt der vier Ebenen \(\sum_{\lambda=1}^4 \sum_{\mu=1}^4 a_{1\mu k}p_\lambda q_\mu = 0\) \((k = 1, 2, 3, 4)\). Die Transformation \(p \rightarrow q\) wird durch \(q = \omega_{yz} p\) angedeutet. Analog ist \(r = \omega_{zy} q = \omega_{zy}\omega_{yx}p\). Die Transformation \(p* = \Omega_x p = \omega_{xz}\omega_{zy}\omega_{yx} p\) ist dann eine Abbildung der Fläche \(\Pi_x\) auf sich selbst.
Sind \(f_0\), \(g_0\) und \(h_0\) ebene Schnitte von \(\Pi_x\), \(\Pi_y\) bzw. \(\Pi_z\), so geben bei den Abbildungen \(\omega\) ihre Bilder Schursche Kurven 6. Ordnung \(C_6\). Wenn \(f'_1 = \omega_{xz}h_0\) und \(f''_1 = \omega_{xy}g_0\) zwei solche \(C_6\) auf \(\Pi_x\) sind, dann liegen beide auf einer kubischen Fläche \(\Phi\) und bilden den vollständigen Schnitt \((\Pi_x, \Phi)\). Von dieser Tatsache ausgehend, werden Kurvenfamilien untersucht, die sich durch wiederholte Abbildungen \(\omega\) und \(\Omega\) einstellen. Hierbei spielt der Begriff von „Kurven-Folgen“ eine wichtige Rolle. Für die Ordnungen der Kurven einer Folge werden Differenzengleichungen aufgestellt und gelöst. Von Kurvenfamilien wird im Besonderen die der Reyeschen Kurven zehnter Ordnung vom Geschlecht elf betrachtet.
Die weiteren Mitteilungen II, III und IV behandeln die verschiedenen Möglichkeiten, die sich einstellen, wenn auf \(\Pi_x\) wenigstens eine Gerade \(f\) existiert. Hier kann \(f\) entweder ein Bestandteil einer der \(\infty^3\) auf \(\Pi_x\) gelegenen Schurschen \(C_6\) sein oder aber, wenn dies nicht der Fall ist, die \(f'_1\) oder \(f''_1\) in 0, 1, 2 oder 3 Punkten treffen. Die sich so ergebenden Möglichkeiten untersucht Verf. durch Spezialisierung der Koeffizienten \(a_{ijk}\) von \(F\). Hierbei wird auf Ergebnisse von H. F. Baker [Principles of geometry. Cambridge (1939); reprints Vols. 1–6 (2010; Zbl 1206.14002)] und auf eigene Resultate [Verf., Geometry of determinantal loci. Cambridge (1939; Zbl 0020.05402)] zurück gegriffen. Daß auf einer \(\Pi_x\) höchstens 64 Geraden liegen können, hat <span class=”textit”>b</span>ewiesen [Q. J. Math., Oxf. Ser. 14, 86–96 (1943; Zbl 0063.06860); Proc. Camb. Philos. Soc. 40, 121–145 (1944; Zbl 0061.36803)].

MSC:
14-XX Algebraic geometry
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