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Über einige arithmetische Eigenschaften der regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen. (Russian) JFM 38.0351.01
Moskau Math. Samml. 26, 130-198 (1907).
Pincherle (J. für Math. 103, 84-86; F. d. M. 20, 326, 1888, JFM 20.0326.01) untersuchte die arithmetischen Eigenschaften der regulären Integrale von der Form (1) \(y=x^{r}[a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots]\) bei der linearen Differentialgleichung (2) \(p_{0}(x)y^{(m)}+p_{1}(x)y^{(m-1)}+\cdots+p_{m}(x)\) \(y=0\) vom Fuchsschen Typus unter der Voraussetzung, daß die Fundamentalgleichung von (2) irreduzibel ist, und daß die Differenz zwischen zweien ihrer Wurzeln nicht ganzzahlig ist. Die Untersuchung wird vom Verf. nun auf die Fälle ausgedehnt, wo diese Bedingungen nicht erfüllt sind; ferner wird an Stelle der Gleichung vom Fuchsschen Typus allgemeiner die Gleichung (2) betrachtet, welche wenigstens ein reguläres Integral besitzt. Wird \(a_{n}={\sum_{0}^{m-1}}{}_{j}a_{n}^{(j)}r^{j}\) gesetzt, so wird nicht nur \(\lim_{n=\infty}\frac{p_{n}}{n^{m^{2}}}\) endlich (\(p_{n}\) ist der größte Teiler des Nenners von \(a_{n}^{(j)}\)); sondern es gibt Fälle, wo \(\frac{p_{n}}{n^{q}}\) für \(q<m^{2}\) sich einer endlichen Grenze nähert. Der Verf. betrachtet auch die arithmetischen Eigenschaften der regulären Integrale von der Form \(y=x^{\nu}\sum_{k=0}^{k=\alpha-1}A_{k}(x)[\log(x-a)]^{k}\) und stellt zum Schluß eine Liste der Erweiterungen der gewonnenen Resultate zusammen, sowohl in betreff der Form der Koeffizienten der ganzen Funktion \(p_{i}(x)\), als auch in betreff der Funktionen \(p_{i}(x)\) selbst.