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Sul carattere aritmetico dei coefficienti delle serie. (Italian) JFM 20.0327.01
In Verallgemeinerung des Satzes, den der Verf. in J. für Math. CIII. (s. voriges Referat (JFM 20.0326.01)) mitgeteilt hat, wird folgendes Resultat hergeleitet: Es sei die Differentialgleichung gegeben \[ q_0(x)\varphi(x)+q_1(x)\varphi'(x)+\cdots+q_s(x)\varphi^{(s)}(x)+xq_{s+1}(x) \varphi^{(s+1)}(x)+\cdots+x^{m-s}q_m(x)\varphi^{(m)}(x)=0, \] wo \[ q_h(x)=a_{h,0}+a_{h,1}x+a_{h,2}x^2+\cdots+a_{h,p}x^p\quad (h=0,1,2,\dots,m) \] und die \(a_{\mu,\nu}\) ganze Zahlen sind.
Dann werden \(s\) Integrale in der Umgebung von \(x=0\) eindeutig, \(m-s\) singulär sein. Die Coefficienten in den Entwickelungen der ersteren \(\sum c_nx^n\) sind so beschaffen, dass \(c_0,c_1,\dots,c_{s-1}\) willkürlich sind, und wenn für dieselben ganze Zahlen genommen werden, die übrigen \(c_m\) Brüche sind, deren Nenner nur Primfactoren \(p_n\) enthalten, welche der Bedingung genügen, dass \(\lim_{n=\infty}\frac{p_n}{n^{m-s}}\) endlich ist.
Hierbei ist vorausgesetzt, dass \[ D_0(\lambda)=a_{s,0}+a_{s+1,0}\lambda+a_{s+2,0}\lambda(\lambda-1)+\cdots+a_{m,0}\lambda(\lambda-1)\dots(\lambda-(m-s-1))=0 \] irreductibel ist. Die \(m-s\) übrigen Integrale sind entwickelbar in der Form \(\sum c_nx^{n+\varrho}\), wo \(\varrho\) eine Wurzel der Gleichung \(D_0(\varrho-s)=0\) ist. Die Coefficienten \(c_n\) haben, \(a_{m,0}=1\) vorausgesetzt, die Form \[ k_0+k_1\varrho+\cdots+k_{m-s-1}\varrho^{m-s-1}, \] worin \(k_0,k_1,\dots\) Brüche sind mit Nennern von der Beschaffenheit, dass der grösste in ihnen enthaltene Primfactor \(p_n\) der Bedingung genügt, durch \(n^{(m-s)^2}\) dividirt für unendlich wachsende \(n\) sich einer endlichen Grenze zu nähern. Daran schliessen sich Bemerkungen, betreffend die Modificationen, die der Satz erfährt in dem Falle, dass \(D_0(\lambda)=0\) reductibel ist, sowie eine Verallgemeinerung des Satzes noch nach einer anderen Richtung, worüber auf die Originalabhandlung verwiesen sei.
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References:
[1] Annales de l’Ecole Normale Supérieure, s II, t. XII, 1883.
[2] Journal für die reme und angewandte Mathematik, t. LXVI.
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