×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen. (German) JFM 23.0381.01
Diese Arbeit enthält wesentliche Vereinfachungen der früheren Untersuchungen des Verfassers (s. F. d. M. XXI. 1889. 371, JFM 21.0371.01, u. XXII. 1890. 375, JFM 22.0375.01) und zugleich wichtige neue Resultate. Zunächst werden in neuer und einfacher Weise die früher von Hrn. Schur angegebenen Ausdrücke für die infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppe (nach Hrn. Lie’s Ausdrucksweise) abgeleitet, die zu einer \(r\)-gliedrigen Gruppe von gegebener Zusammensetzung gehört, und zwar werden diese infinitesimalen Transformationen erstens durch Potenzreihen mit beschränktem Convergenzgebiete und zweitens durch Quotienten beständig convergenter Potenzreihen dargestellt. Dann wird dasselbe für die zur Parametergruppe reciproke Gruppe (die zweite Parametergruppe) ausgeführt, und die Beziehungen zwischen den infinitesimalen Transformationen dieser beiden Gruppen und den endlichen Transformationen der adjungirten Gruppe werden abgeleitet. – Nunmehr denkt sich Herr Schur die infinitesimalen Transformationen zweier \(r\)-gliedrigen, reciproken, einfach transitiven Gruppen vorgelegt und zeigt, dass es dann ohne Integration, durch bloss algebraische Operationen möglich ist, für jeden Typus (im Lie’schen Sinne) von \(r\)-gliedrigen transitiven Gruppen von der gegebenen Zusammensetzung einen Repräsentanten anzugeben, das heisst die infinitesimalen Transformationen einer dem Typus angehörigen Gruppe aufzustellen. Zwei Gruppen werden dabei zu demselben Typus gerechnet, wenn die durch eine Punkttransformation ähnlich sind. Hr. Lie hatte dieses Problem früher durch Quadraturen gelöst, die ihm allerdings auch die endlichen Gleichungen der betreffenden Gruppen aufzustellen erlaubten.
Indem Hr. Schur sein Verfahren auf die infinitesimalen Transformationen der beiden reciproken, einfach transitiven kanonischen Parametergruppen anwendet, gelangt er wieder zu seinem merkwürdigen Satze, dass jede \(r\)-gliedrige transitive Gruppe bei geeigneter Wahl der Veränderlichen auf eine solche Form gebracht werden kann, dass ihre infinitesimalen Transformationen Quotienten beständig convergenter Potenzreihen werden.
Endlich möge noch erwähnt werden, dass Herr Schur auf S. 264 ff. seiner Arbeit einen analytisch sehr eleganten Beweis für den Lie’schen Satz liefert, dass jede Schar von \(\infty^r\) Transformationen, welche den Lie’schen grundlegenden Differentialgleichungen genügt, und welche die identische Transformation enthält, jedenfalls immer dann eine \(r\)-gliedrige Gruppe bildet, wenn die Parameter der identischen Transformation gewissen Bedingungen genügen. – Ein kleines Versehen auf S. 284 seiner Arbeit hat Herr Schur mittlerweile in Math. Ann. XLI. 536 ff. berichtigt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML