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Estensione del teorema di Hilbert al caso di polinomi con infiniti termini. (Italian) JFM 27.0074.02

Siehe JFM 27.0074.01. Der Hilbert’sche Satz (cf. F. d. M. 22, 133, 1890, JFM 22.0133.01) fliesst hier aus einem allgemeineren Principe. Es bedeute \(X\) irgend eine der unendlich vielen Lösungen der ganzen Zahlen \(x_1, x_2, \dots , x_n\), die ein gewisses Problem zulässt; ferner seien \(\varphi(x_1,x_2,\dots , x_n)\), \(\psi(x_1,x_2,\dots , x_n)\) etc. arithmetische Functionen der \(x\), die für alle hier in Betracht kommenden Werte der \(x\) je einen bestimmten ganzen positiven Wert annehmen. Zwei Systeme gehören derselben “Klasse” an, wenn \(\varphi(X')=\varphi (X)\), \(\psi(X')=\psi (X)\) etc.; die Klasse \(X'\) heisst dagegen “enthalten” in der Klasse \(X\), wenn \(\varphi(X')\leq \varphi(X)\), \(\psi(X')\leq \psi(X)\) etc. und hier wenigstens einmal das Kleiner-Zeichen gilt. Dann sagt das genannte Princip aus, “dass die Anzahl der Klassen, die keine andere Klasse mehr enthalten, eine endliche ist”.
Der Beweis wird auf den einfacheren Fall zurückgeführt, wo die Functionen \(\varphi,\psi,\dots\) mit den Variabeln \(x_1,x_2,\dots,x_n\) selbst übereinstimmen. Ein System \(X\) der \(x\), das kein anderes mehr enthält, heisst ein “primäres”. Dann ist also zu zeigen, dass die primären Systeme von (ganzen, positiven) Werten der \(x\), die einem vorgelegten Probleme genügen, nur in endlicher Anzahl existiren.
Der Nachweis gründet sich auf ein arithmetisches Anordnungsprincip, ähnlich einem von Gordan beim Beweise des Hilbert’schen Satzes (cf. F. d. M. 25, 175, 1893, JFM 25.0175.01) benutzten. Danach lässt sich, wenn eine Reihe ganzer Functionen \(f_1,f_2,\dots, f_n\) in bestimmter Folge vorliegt, eine weitere ganze Function \(\varphi\) mit Bezug auf diese Folge auf eine erste, zweite, …, letzte “reducirte” Gestalt bringen.
In der zweiten Arbeit zeigt der Verf., wie der Hilbert’sche Satz auf Polynome mit unendlich vielen Gliedern ausgedehnt werden kann. Das Product zweier solchen Polynome \(f,\varphi\) lässt sich rein formal definiren, ohne auf die Convergenz von \(f,\varphi\) Rücksicht zu nehmen. Auch dann kann man alle Formen \(F\) der unbegrenzten Reihe \(f_1,f_2,f_3,\dots\) auf den Typus \(F=f_1\varphi_1+f_2\varphi_2+\cdots+f_k\varphi_k\) bringen, wo \(k\) ein bestimmbarer endlicher Index ist. Der Beweis basirt wiederum auf dem Begriff des reducirten Polynoms.

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