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Zur Theorie der Maxima und Minima einer Function von \(n\) Veränderlichen. (German) JFM 29.0240.02
Die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass eine Function von \(n\) Veränderlichen \(x_1,x_2,\dots,x_n\) an einer Stelle \(a_1,a_2,\dots,a_n\), in deren Umgebung die Entwickelung der Function nach ganzen positiven Potenzen von \(x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_n-a_n\) mit einer semidefiniten Form beginnt, ein eigentliches Maximum oder Minimum habe, löst der Verf., ausgebend von der Grundanschauung, welche er in seiner diesbezüglichen Theorie für Functionen von zwei Veränderlichen [vgl. das Referat hierüber in F. d. M. 25, 467-469, 1893/94, JFM 25.0467.02] entwickelt hat.
Die gesuchten notwendigen und hinreichenden Bedingungen ergeben sich aus der Betrachtung der Entwickelung: \[ f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)=g(h_1,h_2,\dots,h_n) \]
\[ =g_i(h_1,h_2,\dots,h_n)+g_{i+1}(h_1,h_2,\dots,h_n)+\cdots, \] wo \(g\) eine gewöhnliche Potenzreihe von \(h_1,h_2,\dots,h_n\) ist, \(g_\nu\) eine ganze homogene Function \(\nu^{\text{ter}}\) Dimension derselben Grössen, welche mit diesen zugleich verschwindet, und \(h_\nu=x_\nu-a_\nu\) gesetzt ist. Dann sind bekanntlich die drei Fälle zu unterscheiden:
I. \(g_i\) ist eine definite Form (\(i\) gerade); dann ist \(f(a_1,a_2,\dots,a_n)\) ein eigentliches Maximum oder Minimum, je nachdem \(g_i<0\) oder \(>0\) ist.
II. \(g_i\) ist eine indefinite Form; dann ist \(f(a_1,a_2,\dots,a_n)\) weder ein Maximum noch ein Minimum.
III. \(g_i\) ist eine semidefinite (positive oder negative) Form; dann entscheidet das Vorzeichen von \(g_i\) allein nicht, ob ein Maximum oder Minimum stattfindet.
Der Verf. benutzt nun die folgende Ueberlegung: Ist für die Function \(g(h_1,h_2,\dots,h_n)\) der Wert 0 auf jeder durch den Nullpunkt des Bereiches \(h_1,h_2,\dots,h_n\) gehenden Geraden \(h_\nu=\lambda_\nu\varrho\) für \(\nu=1,2,\dots,n\) [wo \(\varrho\) und \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\) reelle Veränderliche sind und \(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\cdots+\lambda_n^2=1\) sein soll] in dem Intervalle \(-p_\lambda\leqq\varrho\leqq q_\lambda\), wo \(p_\lambda\) und \(q_\lambda\) positive, von Null verschiedene Grössen bezeichnen, ein eigentliches Maximum, bez. Minimum, und ist die untere Grenze \(r\) der positiven Veränderlichen \(r_\lambda\), welche die kleinere der beiden Grössen \(p_\lambda\), \(q_\lambda\) bezeichnet, für den Bereich \(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\cdots+\lambda_n^2=1\) von Null verschieden, so ist \(g(h_1,h_2,\dots,h_n)\) in der Umgebung der Stelle 0,0,...,0 vom Radius \(r\) durchaus negativ, bez. durchaus positiv, also \(g(0,0,\dots,0)\) ein eigentliches Maximum, bez. Minimum.
Setzt man nun \(g(\lambda_1\varrho, \lambda_2\varrho,\dots, \lambda_n\varrho)=\varrho^i\varphi(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n; \varrho)\), wo also \[ \varphi(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n;\varrho) = g_i(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) + \varrho g_{i+1}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) + \cdots \] ist, so ist nur zu entscheiden, ob sieh eine positive Zahl \(\mathfrak r\) so klein angeben lässt, dass \(\varphi\) für alle reellen Wertesysteme \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\) des Bereiches \(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\cdots+\lambda_n^2=1\) durchaus von Null verschieden ist, solange nur \(0<\varrho^2\leqq\mathfrak r^2\) ist.
Diese Entscheidung ist in den Fällen I und II leicht allgemein zu fällen: für den Fall III, dessen Untersuchung der weitaus grösste Teil der Arbeit gewidmet ist, müssen zur Entscheidung noch Glieder \(g_\nu\) von höherer als der \(i^{\text{ten}}\) Dimension herangezogen werden. Der Verf. löst diese Frage für \(i=2\), wobei noch einige specielle Fälle unerledigt bleiben. Die Untersuchung dieser letzteren, sowie der Falle, in denen \(i>2\) ist, bleibt einer weiteren Abhandlung vorbehalten.
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References:
[1] Zur Theorie der Maxima und Minima der Functionen von n Variabeln, Berichte der Königl. Sächs. Ges. d. Wissensch. zu Leipzig, Januar 1892. · JFM 24.0255.01
[2] Die Maxima und Minima der Functionen von mehreren Veränderlichen. (Mit zwei Nachträgen). Sitzungsber. d. Kais. Akad. d. Wissensch. in Wien, Juni 1890, Nov. 1891, Febr. 1893.
[3] Math. Ann. Bd. 42.
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