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Class number of a definite quaternion with prime discriminant. (English) Zbl 0081.03601

Wie M. Deuring [Abh. Math. Semin. Hansische Univ. 14, 197–272 (1941; Zbl 0025.02003; JFM 67.0107.01)] bemerkte, ist die Idealklassenzahl \(h\) einer definiten Quaternionen-Algebra der Prim-Grundzahl \(p\) gleich der Anzahl der supersingulären elliptischen Funktionenkörper der Charakteristik \(p\). Es sei \(p>2\) und der Funktionenkörper durch \(y^2 = x (1 - x) (\lambda - x)\) definiert. Dann ist einerseits die absolute Invariante \(j = 2^8 (1 - \lambda (1 - \lambda))^3 \lambda^{-2} (1 - \lambda)^{-2}\). Andererseits [M. Deuring, loc. cit., p. 253–255] die Hassesche Invariante \[ A(\lambda) = (-1)^r \sum_{i=1}^r \binom{r}{i}^2 \lambda^i, \quad r = \tfrac12 (p - 1). \] Verf. bemerkt, daß diese der hypergeometrischen Differentialgleichung \[ \lambda(1 - \lambda) A'' + (1 - 2\lambda) A' - \tfrac14 A = 0 \] genügt, woraus sich ergibt, daß \(A(\lambda)\) nur einfache Nullstellen hat. Ein elliptischer Körper ist dann und nur dann supersingulär, wenn seine Hasse-Invariante 0 ist. Ferner gibt es zu jedem Wert von \(j\) i. a. 6 verschiedene Werte von \(\lambda\), ausgenommen \(j = 0\) und \(12^3\). Mithin ist die gesuchte Anzahl \(h\) im wesentlichen der 6. Teil der Nullstellenanzahl von \(A(\lambda)\), d. h. \((p - 1)/12\). Bei geeigneter Berücksichtigung obiger Ausnahmewerte von \(j\) erhält man die vom Ref. erstmalig auf andere Weise bewiesene Formel [Math. Z. 43, 102–109 (1937; Zbl 0017.15003; JFM 63.0093.02)]. Vgl. auch M. Deuring [Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl., Math.-Phys.-Chem. Abt. 1945, 83–85 (1947; Zbl 0029.00901), Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 54, 24–41 (1950; Zbl 0039.02902)].

MSC:

11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
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