Über Systeme reeller algebraischer Gleichungen. (German) Zbl 0021.29301

Behrend, Felix

Compos. Math. 7, 1-19 (1939).

H. Hopf [Compos. Math. 5, 347–353 (1938; Zbl 0018.42604; JFM 64.0607.03)] und E. Stiefel [Comment. Math. Helv. 8, 305–353 (1936; Zbl 0014.41601; JFM 62.0662.02)] und eine demnächst in der Compositio Math. erscheinende Arbeit (Hopf)] haben mit topologischen Hilfsmitteln Sätze folgender Art über Systeme reeller Funktionen, insbesondere über reelle Formen, bewiesen:
\(n\) Formen in zwei Reihen von Veränderlichen \(x_1,\ldots, x_r\) und \(y_1,\ldots, y_s\) mit reellen Koeffizienten und von ungeradem Homogenitätsgrad in jeder der beiden Reihen mögen definit heißen, wenn sie nur die beiden trivialen Nulllösungen \(x_1 = x_2 = \ldots = x_r\) und \(y_1 = y_2 = \ldots = y_s\) haben. Dann ist für die Existenz eines definiten Formensystems dieser Art notwendig, daß die Binominalkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) mit \(n - r< k< s\) sämtlich gerade sind; speziell gilt für das bei gegebenen \(r\) und \(s\) kleinstmögliche \(n = n^*(r, s)\) die Abschätzung \(n^* \ge \max (r, s)\).
Für diesen Satz wird in dieser Arbeit ein rein algebraischer Beweis gegeben, der sich auf die von B. L. van der Waerden entwickelten Methoden (vgl. insbesondere [Math. Ann. 110, 128–133 (1934; Zbl 0009.22504)]) der algebraischen Geometrie stützt. Die Koeffizienten der Formen dürfen dabei als formal reell im Sinne von Artin und Schreier vorausgesetzt werden. Weiter wird ein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines definiten Formensystems der genannten Art angegeben, welches z. B. für \(r = 1, \ldots, 8\) zusammen mit dem ersten Satz \(n*(r,r)\) zu bestimmen erlaubt. \(n(r, r) = r\) kann nur eintreten, wenn \(r\) Potenz von 2 ist. Besondere Anwendungen ergeben sich für Bilinearformen, beispielsweise auf die Anzahl der Einheiten einer nichtassoziativen Divisionsalgebra über dem reellen Zahlkörper. Ferner ergibt sich eine Anwendung auf die Reyesche Apolaritätstheorie.
[Vgl. auch das Referat im JFM 65.0051.01.]

Reviewer: Wolfgang Franz (Gießen)

MSC:

12D99

Real and complex fields

Citations:

Zbl 0018.42604; JFM 64.0607.03; Zbl 0014.41601; JFM 62.0662.02; Zbl 0009.22504; JFM 65.0051.01