×

Über die Darstellung einer endlichen Gruppe durch halblineare Transformationen. (German) JFM 62.0085.04

Eine halblineare Transformation \(x_i^{\prime} = \sum a_{ki} x_k^S\) ist gegeben durch eine Matrix \((a_{ki})\), deren Elemente einem Körper \(K\) angehören, und einen Automorphismus \(S\) von \(K\) [B. L. van der Waerden, Gruppen von linearen Transformationen. Berlin: Julius Springer (1935; JFM 61.0105.03)]. Ist \(\mathfrak{G}\) eine Gruppe halblinearer Transformationen \(G\), so durchlaufen die zugehörigen Automorphismen \(S = S\, (G)\) eine zu \(\mathfrak{G}\) homomorphe Gruppe \(\mathfrak{A}\) von Automorphismen von \(K\), also, falls \(\mathfrak{A}\) endlich ist, die galoissche Gruppe von \(K\) in bezug auf einen Teilkörper \(k\).
In der vorliegenden Arbeit wird die Theorie der Darstellungen einer gegebenen endlichen Gruppe \(\mathfrak{G}\) durch halblineare Transformationen in einem gegebenen Körper \(K\) unter der Einschränkung entwickelt, daß die Charakteristik von \(K\) Null oder eine in der Ordnung von \(\mathfrak{G}\) nicht aufgehende Primzahl ist. Als angemessen erweist sich dabei der Standpunkt, daß auch die zu \(\mathfrak{G}\) homomorphe Automorphismengruppe \(\mathfrak{A}\) von \(K\) und die homomorphe Abbildung von \(\mathfrak{G}\) auf \(\mathfrak{A}\) als fest gegeben angesehen werden. Die entstehende Theorie enthält als Grenzfälle die Theorie der Darstellungen im Frobeniusschen Sinn \((\mathfrak{U} = 1)\) und die Theorie der verschränkten Darstellungen \(\mathfrak{U}\) isomorph zu (\(\mathfrak{G}\)). Die Rolle des Gruppenrings bzw. des verschränkten Produkts spielt die Algebra \[ \mathfrak{S}/k=EK + \cdots + GK + \cdots \] mit den Rechenregeln \[ \varkappa G = G \varkappa^{S(G)}. \] Jede Darstellung von \(\mathfrak{G}\) wird durch einen \(\mathfrak{S}\)-Rechtsmodul vermittelt. Durch Anwendung der allgemeinen Noetherschen Darstellungstheorie auf \(\mathfrak{S}\) lassen sich die wichtigsten Sätze aus der Theorie der Frobeniusschen Darstellungen endlicher Gruppen übertragen.
Zwei Darstellungen \(U_G\), \(V_G\) sind äquivalent zu nennen, wenn es eine nicht singuläre Matrix \(P\) mit \(U_GP=P^{S(G)}V_G\) gibt. Alle Darstellungen sind vollständig reduzibel. \(\mathfrak{H}\) sei der Normalteiler derjenigen Elemente von \(\mathfrak{G}\), für die \(S\,(G)=1\) ist. Enthält \(k\) die absolut einfachen Charaktere von \(\mathfrak{H}\), so gelten die folgenden Sätze: Die Anzahl der wesentlich verschiedenen irreduziblen Darstellungen von \(\mathfrak{G}\) ist gleich der Zahl der in \(\mathfrak{H}\) gelegenen Ähnlichkeitsklassen von \(\mathfrak{G}\). Zwei Darstellungen von \(\mathfrak{G}\) sind dann und nur dann äquivalent, wenn sie äquivalente Darstellungen von \(\mathfrak{H}\) liefern (d. h. im Fall der Charakteristik 0: wenn die Elemente von \(\mathfrak{H}\) in beiden Darstellungen den gleichen Charakter haben); ferner ist der Grad jeder irreduziblen Darstellung von \(\mathfrak{G}\) ein Teiler der Ordnung von \(\mathfrak{G}\), falls \(K\) Zerfällungskörper von \(\mathfrak{G}\) ist. Ist \(k\) ein algebraischer Zahlkörper, so haben dann und nur dann alle irreduziblen Darstellungen von \(\mathfrak{G}\) bei geeigneter Erweiterung des Grundkörpers \(k\) den Grad 1, wenn \(\mathfrak{H}\) im Zentrum von \(\mathfrak{G}\) enthalten ist.

MSC:

20-XX Group theory and generalizations

Citations:

JFM 61.0105.03
PDF BibTeX XML Cite