×

Sur les classes de fonctions définies par des inégalités portant sur leurs dérivées successives. (French) JFM 66.1231.01

Actualités Scientifiques et Industrielles. 867. Paris: Hermann & Cie. 36 p (1940).
Diese Arbeit, die niedergeschrieben wurde vor der vollständigen Lösung des Carlemanschen Problems über die Äquivalenz von Funktionenklassen durch Verf. und S. Mandelbrojt [Acta Math. 72, 31–49 (1940; JFM 66.0244.01; Zbl 0023.05601)], bildet eine vortreffliche Einleitung zum Studium dieses Problems.
Nach einer vom Verf. näher angegebenen Definition [C. R. Acad. Sci., Paris 208, 414–416 (1939; JFM 65.0217.01; Zbl 0022.15501)) heißt für eine gegebene Folge \(\{A_n\}\) endlicher oder unendlicher positiver Zahlen eine reelle, auf einem Intervall \(I\) bestimmte, unendlich oft ableitbare Funktion \(f (x)\) zur Klasse \(\{A_n\}\) gehörig in einem Punkt \(x_0\) von \(I\), wenn zwei positive Zahlen \(K\) und \(\varrho\) existieren, so daß gilt \(| f^{(n)}(x) | \le K\varrho^nA_n\) für alle ganzen Zahlen \(n \ge 0\) und alle \(x\) auf einer Umgebung von \(x_0\); gehört \(f (x)\) zur Klasse \(\{A_n\}\) in jedem Punkt von \(I\), dann heißt \(f (x)\) zur Klasse \(\{A_n\}\) gehörig auf dem Intervall \(I\).
Das Carlemansche Äquivalenzproblem will hinreichende und notwendige Bedingungen angeben, damit zwei Folgen \(\{A_n\}\) und \(\{A_n'\}\) dieselbe Klasse bestimmen, allgemeiner: damit die Klasse \(\{A_n'\}\) die Klasse \(\{A_n\}\) enthält.
Für feste \(A_n\) gibt es unter allen Folgen \(B_n \le A_n\) von der Eigenschaft, daß \(B_n\) eine konvexe Funktion von \(n\) ist, immer eine \(\bar A_n\), deren Glieder maximal sind; indem er auf dieser Begriffsbildung fußt, beweist S. Mandelbrojt [Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions. Paris: Gauthier-Villars (1935; JFM 61.1117.05; Zbl 0013.11006), S. 91–93].
Theorem (\(M\)) – Enthält die Klasse \(\{A_n'\}\) die Klasse \(\{A_n\}\), dann gilt \[ \varlimsup_{n\to \infty} \left( \frac {\bar{A}_n} {\bar{A}_n'}\right)^{\tfrac 1n} < + \infty; \] dabei wird ein offenes oder abgeschlossenes, endliches oder unendliches Intervall zugelassen.
Da diese Bedingung offenbar hinreicht, damit die Klasse \(\{\bar{A}_n'\}\) die Klasse \(\{\bar{A}_n\}\) enthält, liefert Theorem (M) eine Lösung der Äquivalenzfrage für zwei Klassen \(\{A_n\}\) und \(\{A_n'\}\), die mit den entsprechenden \(\{A_n'\}\) und \(\{\bar{A}_n'\}\) auf dem betrachteten Intervall übereinstimmen.
Der Hauptgegenstand der Arbeit besteht in der Angabe einfacher Äquivalenzkriterien zwischen den Klassen \(\{A_n\}\) und \(\{\bar{A}_n\}\).
Theorem I – Enthält die Klasse \(\{A_n\}\) die \(\{n!\}\)-Klasse – die sogenannte analytische Klasse –, dann stimmen die Klassen \(\{A_n\}\) und \(\{\bar{A}_n\}\) auf jedem offenen Intervall überein.
Theorem II – Gilt Klasse \(\{\bar{A}_n \} =\) Klasse \(\{{B}_n\}\), wobei \(B_{n+1}: (n+ 1) B_n\) mit wachsendem \(n\) nicht abnimmt, dann decken sich die Klassen \(\{{A}_n\}\) und \(\{\bar{A}_n\}\) auf jedem Intervall.
Durch Gegenbeispiele beweist Verf.: die Klassen \(\{A_n\}\) und \(\{\bar{A}_n\}\) dürfen verschieden sein:
1) auf einem offenen Intervall, falls die Klasse \(\{A_n\}\) die analytische Klasse nicht enthält,
2) auf einem abgeschlossenen Intervall, auch falls die Klasse \(\{A_n\}\) die analytische Klasse enthält.
Die Beweise werden in der Arbeit angeführt; hier begnügen wir uns mit Andeutungen: Verf. stellt sich folgendes doppelte Problem (vgl. L. Neder, Math. Z. 31, 356-365 (1930; JFM 55.0133.03); A. Gorny, C. R. Acad. Sci., Paris 206, 1245–1247 (1938; JFM 64.0211.01; Zbl 0018.30004), ibid. 206, 1872–1874 (1938; JFM 64.0211.02; Zbl 0019.07201)]: es sei \(f(x)\) eine auf einem endlichen, abgeschlossenen Intervall \(I\) erklärte, \(p\)-mal ableitbare Funktion, \(M_0\) bzw. \(M_p\) eine obere Schranke von \(|f|\) bzw. \(|f^{(p)}|\) auf \(I\); es handelt sich darum, eine obere Schranke von \(| f^{(k)} |\) in der Mitte von \(I\) und eine obere Schranke von \(|f^{(k)} |\) auf dem ganzen Intervall anzugeben, wobei \(k\) eine ganze Zahl mit \(0 < k < p\) bezeichnet. Im ersten Teil löst Verf. das Problem durch Anwendung der Markoffschen und Bernsteinschen polynomialen Ungleichungen. Die Ungleichung, die eine Schranke für \(| f^{(k)} |\) in der Mitte von \(I\) gibt, liefert ihm leicht dann im zweiten Teil den Beweis von Satz I (Fall des offenen Intervalls); die andere Ungleichung führt zum Satz II. Im dritten Teil, dem Beispiel von Gorny folgend, der die Klasse des Produktes zweier Funktionen untersucht hat, benutzt er diese Ungleichungen zur Untersuchung der Klasse einer zusammengesetzten Funktion \(f(g(x))\), wenn man die Klassen von \(f\) und \(g\) kennt; unter gewissen ziemlich allgemeinen Annahmen gehört die Funktion \(f(g)\) zur größeren der \(f\) bzw. \(g\) enthaltenden Klassen.
Theorem III – Es sei \(\{B_n\}\) eine Klasse, für welche \(B_{n+1} : (n+1) B_n\) eine nicht abnehmende Funktion von \(n\) ist, \(\{A_n\}\) eine beliebige Klasse, die \(\{B_n\}\) enthält, \(f\) bzw. \(g\) eine Funktion aus der Klasse \(\{A_n\}\) bzw. \(\{B_n\}\); dann gilt: die zusammengesetzte Funktion \(f(g)\) gehört zur Klasse \(\{A_n\}\) auf jedem Intervall ihres Definitionsbereiches. (In diesem Spezialfall wurde diese Frage schon von P. Flamant untersucht [J. Math. Pur. Appl. (9) 16, 375–420 (1937; JFM 63.0197.02; Zbl 0017.36402)] mit einigen Einschränkungen (siehe dort S. 399–414)).
In einem Anhang weist Verf. auf eine Erweiterung der Theorie für den Fall von Funktionen mehrerer Veränderlichen hin und gibt einige Hilfsbeweise an.

MSC:

26-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to real functions