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Interpolatory function theory. (English) JFM 61.0331.04

Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. No. 33. Cambridge: Cambridge University Press. 107 p. (1935).
Der vorliegende Band der Cambridge Tracts gibt eine zusammenfassende Darstellung von neueren Resultaten über die Interpolation analytischer Funktionen. Die dabei notwendige Auswahl ist so getroffen, daß fast ausschließlich Fragen behandelt werden, die nicht bereits in andern Büchern eine Darstellung gefunden haben, sie ist überdies naturgemäß durch die Arbeitsrichtung des Verf. bestimmt.
Das erste Kapitel (Series of polynomials) behandelt, anschließend an eine frühere Arbeit des Verf. [Q. J. Math., Oxf. Ser. 5, 224–239 (1934; JFM 60.0247.02)], die allgemeine Theorie der Fundamentalsysteme (“basic sets”) von Polynomen. Über die genannte Arbeit hinausgehend werden die Begriffe der Ordnung und des Typus eines beliebigen Fundamentalsystems eingeführt. Für diese Größen wird gezeigt, daß eine ganze Funktion von der Ordnung \(\varrho<\dfrac1\omega\) oder von der Ordnung \(\varrho=\dfrac1\omega\) und dem Typus \(\sigma<\dfrac1\gamma\) nach den Polynomen eines Fundamentalsystems von der Ordnung \(\omega\) und dem Typus \(\gamma\) entwickelt werden kann.
Im zweiten Kapitel (The sum of a function) werden zunächst die Bernoullischen Polynome eingeführt; sie erweisen sich als Fundamentalsystem der Ordnung 1 und des Typus \(\dfrac1{2\pi}\). Mit ihrer Hilfe wird sodann über die klassischen Resultate von Guichard und Hurwitz hinausgehend bewiesen (vgl. J. M. Whittaker [Proc. Edinb. Math. Soc. 3, 241–258 (1933; JFM 59.0330.01); 4, 77–78 (1935; JFM 61.0334.01)]; ferner [J. Lond. Math. Soc. 8, 62–69 (1933; JFM 59.0331.02)] sowie die nachstehend besprochene Arbeit), daß die Differenzengleichung
\[ g(z+1)-g(z)=f(z) \]
(a) für jede ganze Funktion \(f(s)\) eine ganze Lösung \(g(z)\) derselben Ordnung,
(b) für jede meromorphe Funktion \(f(z)\) einer Ordnung \(\varrho\) eine meromorphe Lösung \(g(z)\) der Ordnung \(\le\rho+1\) (diese Zahl kann allgemein durch keine kleinere ersetzt werden) besitzt.
Das zweite Resultat wird auf die Differenzengleichung
\[ g(z+1)=f(z)g(z) \]
übertragen.
Das dritte Kapitel (Properties of successive derivatives) bringt vor allem Sätze von G. Pólya (Math. Z. 12, 36–60 (1922; JFM 48.0370.02)], W. Gontcharoff [Ann. École Norm. Sup. (3) 47, 1–78 (1930; JFM 56.0260.01)], S. Takenaka [Proc. Phys.-Math. Soc. Japan (3) 13, 111–132 (1931; JFM 57.0373.01); 14, 179–196 (1932; JFM 58.0308.01), 14, 529–542 (1932; JFM 58.1082.04)] und S. Kakeya [Proc. Phys.-Math. Soc. Japan (3) 14, 125–138 (1932; JFM 58.0308.02)] über die Nullstellen der Folge der Ableitungen \(f(z)\), \(f'(z)\), \(f''(z)\),…einer meromorphen Funktion \(f(z)\). Neu ist dabei ein elementarer Beweis des folgenden Satzes von Takenaka: Hat jede Ableitung einer ganzen Funktion \(f(z)\) in \(|z|\le 1\) eine Nullstelle, und gilt
\[ \limsup_{r\to\infty}\frac{\log M(r)}r<\log2 \]
(\(M(r)=\text{Max}_{|z|=r}|f(z)|\)), so ist \(f(z)\) eine Konstante.
Den Schluß des Kapitels bildet eine Weiterführung der Untersuchungen des Verf. [Proc. Lond. Math. Soc. 36, 451–469 (1933; JFM 59.0358.02)] über Fragen, welche an die Lidstoneschen Reihen [G. J. Lidstone, Proc. Edinb. Math. Soc. 2, 16–19 (1930; JFM 56.1053.03)]; vgl. auch H. Poritsky, Trans. Am. Math. Soc. 34, 274–331 (1932; JFM 58.0314.01)] anknüpfen.
Das vierte Kapitel (Interpolation at the integers) gibt zuerst eine kurze (keineswegs die Vollständigkeit der bekannten Nörlundschen Bücher anstrebende) Behandlung der zu einer ganzen Funktion \(f(z)\) gehörigen Newtonschen Interpolationsreihe
\[ f(0)+z\varDelta f(0)+\frac{z(z-1)}{2!}\varDelta^2f(0)+ \frac{z(z-1)(z-2)}{3!}\varDelta^3f(0)+\cdots \tag{1} \]
samt einigen Anwendungen: Satz von Pólya-Hardy über ganzwertige ganze Funktionen; Sätze über die Beziehungen zwischen den Singularitäten einer Potenzreihe am Rande des Konvergenzkreises und der Größe und Dichte ihrer Koeffizienten; Satz von Pfluger-Pólya über die Koeffizientendichte der Potenzreihe einer ganzen Funktion mit einem Borelschen Ausnahmewert (vgl. JFM 61.0343.01).
Die zweite Hälfte des Kapitels beschäftigt sich mit der Interpolation an den Stellen 0, \(\pm1\), \(\pm2\),…einerseits durch die Gaußsche Reihe \[ \displaylines{(2)\qquad f(0)+\left\{z\varDelta f(0)+\frac{z(z-1)}{2!}\varDelta^2f(-1)\right\}\hfill\cr\hfill +\left\{\frac{z(z^2-1^2)}{3!}\varDelta^3f(-1)+\frac{z(z^2-1^2)(z-2)}{4!} \varDelta^4f(-2)\right\}+\cdots,} \] andrerseits durch die Reihe (“cardinal series”) \[ \frac{\sin\pi z}\pi\left[\frac{f(0)}z+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n \left\{\frac{f(n)}{z-n}+\frac{f(-n)}{z+n}\right\}\right]. \tag{3} \] Es werden die bekannten Beziehungen zwischen beiden Reihen (vgl. insbesondere W. L. Ferrar [Proc. R. Soc. Edinb. 45, 269–282 (1925; JFM 51.0346.03); 46, 323–333 (1926; JFM 52.0468.01)] bewiesen unter Verallgemeinerung auf den Fall, daß es sich um Interpolationsstellen \(0, \pm c_1, \pm c_2,\ldots\) \(\Biggl(c_{n+1}>c_n>0\), \(\sum\dfrac1{c_n^2}\) konvergent\(\Biggr)\) handelt. Sodann folgen Beziehungen der Reihe (3) zur Theorie der Fourier-Reihen und -Integrale, und daran anschließend der von W. L. Ferrar [loc. cit.; Proc. R. Soc. Edinb. 47, 230–240 (1927; JFM 53.0221.03)] angegebene “Konsistenzsatz” der Reihe (3) in verschärfter Form.
Das nächste Kapitel (Interpolation at the lattice points) beschäftigt sich mit der Interpolation in den Gitterpunkten \(z=m+ni\) (\(m,n=0\), \(\pm1\), \(\pm2\),…). Es wird der Satz, daß eine ganze Funktion der Ordnung \(<2\), die in den Gitterpunkten beschränkt ist, eine Konstante ist, sowohl auf dem ursprünglich vom Verf. [Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 2, 111–128 (1930; JFM 56.0274.01); Proc. Lond. Math. Soc. (2) 37, 383–401 (1934; JFM 60.0266.02)] als auch auf dem von G. Pólya [Jahresber. D. M. V. 43, 67–69 (1933)] angegebenen Wege bewiesen.
Das letzte Kapitel (Asymptotic periods) endlich bezieht sich auf die asymptotischen Perioden ganzer und meromorpher Funktionen. Dabei wird unter einer “asymptotischen Periode” einer solchen Funktion \(f(z)\) jede Zahl co verstanden, für die \(f(z+\omega)-f(z)\) von kleinerer Ordnung als \(f(z)\) ist. Unter wesentlicher Verschärfung früherer Resultate des Verf. [JFM 59.0330.01; JFM 60.0266.03] wird gezeigt:
(1) Ist \(B\) die Menge der asymptotischen Perioden einer ganzen Funktion \(f(z)\), so ist entweder (a) \(B\) die Nullmenge, oder (b) \(B\) besteht aus einer Menge von Punkten \(k\lambda\) (\(k=\pm1\), \(\pm2\),…), oder (c) \(B\) liegt auf einer Geraden durch den Nullpunkt, ist überall dicht und hat das Maß Null. Gilt \(\dfrac{\log M(r)}{r}\to 0\), so kann nur der Fall (a) eintreten; ist \(f(z)\) von der Ordnung 1, so können nur die Fälle (a) und (b) eintreten.
(2) Ist \(B\) die Menge der asymptotischen Perioden einer meromorphen Funktion der Ordnung \(\varrho\), und ist \(\varkappa\) der Konvergenzexponent der Pole (\(\varkappa\leqq\varrho\)), so gilt: (a) Für \(\varkappa=\varrho\) ist \(B\) abzählbar, (b) für \(\varkappa<\varrho\) liegt \(B\) auf einer Geraden durch den Nullpunkt und hat das Maß Null.

MSC:

30E05 Moment problems and interpolation problems in the complex plane
30-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable