On the conformal representation of multiplely connected plane areas. (Sur la représentation conforme des aires planes multiplement connexes.) (French) Zbl 0001.02001

de la Vallée Poussin, C.

C. R. Acad. Sci., Paris 192, 128-131 (1931).

Verf. beweist im Anschluß an frühere Arbeiten [Ann. Éc. Norm. Supér. (3) 47, 267–309 (1930; JFM 56.0296.03); s. auch die dort zitierte C. R. Note des Verf. [C. R. 190, 782–783 (1930; JFM 56.0296.02)]; vgl. ferner C. R. 191, 1414–1418 (1930; JFM 56.0296.04)] eine Verallgemeinerung der bekannten Tatsache, daß jedes 2-fach zusammenhängende von 2 geschlossenen Jordankurven \(C, C_1\) (\(C_1\) im Innern von \(C\)) begrenzte Gebiet konform auf einen passenden Kreisring zwischen. den konzentrischen Kreisen \(| z-a|=r\), \(| z-a|=R\), \(r<R\) abgebildet werden kann. Sind \(\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n\) \((n > 0\), ganz) positive und \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) beliebige voneinander verschiedene komplexe Zahlen, und bildet man mit ihnen die Funktion \(\Phi(u) = (u-a_1)^{\Omega_1}(u-a_2)^{\Omega_2}\cdots (u-a_n)^{\Omega_n}\), so stellt \(|\Phi(u)| = c = \text{const.}\) eine Schar von ,,Cassinischen Kurven” mit den ,,Brennpunkten” \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) dar. Ist \(c = c_1\) hinreichend groß, so liefert \(|\Phi(u)| = c_1\) eine einzige einfache geschlossene Kurve \(\Gamma\), ist \(c = c_2\) hinreichend klein, so besteht das Bild von \(|\Phi(u)| = c_2\) aus \(n\) verschiedenen einfachen geschlossenen Kurven \(\Gamma_\nu\), \((\nu = 1, 2, \ldots, n)\), von denen jede außerhalb aller anderen verläuft. Alle \(\Gamma_\nu\) liegen im Innern von \(\Gamma\) und enthalten je einen ,,Brennpunkt” \((a_\nu)\) im Innern. \(\Gamma\) und \(\Gamma_\nu\) \((\nu = 1, 2, \ldots, n)\) begrenzen ein \((n+1)\)-fach zusammenhängendes Gebiet \(\Delta\). Es wird nun der Satz bewiesen:
Es sei \(D\) ein \((n+1)\)-fach zusammenhängendes Gebiet, das von \(n+1\) geschlossenen Jordankurven \(C, C_1, C_2, \ldots, C_n\) begrenzt wird, wobei alle \(C_\nu\), im Innern von \(C\) verlaufen. Dann kann man \(D\) konform auf ein passendes von 2 ,,Cassinischen Kurven” derselben Schar (also mit denselben \(n\) Brennpunkten \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) begrenztes Gebiet so abbilden, daß die äußere Randkurve \(C\) der äußeren Randkurve \(\Gamma\), jede der inneren Randkurven \(C_\nu\), genau einer inneren Randkurve \(\Gamma_\nu\) von \(\Delta\) ,,entsprechen”. Dabei kann man die \(a_\nu\) und \(\Omega_\nu\) so bestimmen, daß die Randkurven \(\Gamma\) bzw. \(\Gamma_\nu\) durch die Gleichungen
\[ | \prod_{\nu=1}^n(u-a_\nu)^{\Omega_\nu}|=1\quad\text{bzw.}\quad | \prod_{\nu=1}^n(u-a_\nu)^{\Omega_\nu}|=e^{-\pi}\tag{\text{*}} \]
dargestellt werden. Es wird ein Verfahren angegeben, wie man die \(a_\nu\) (die Konstruktion der \(a_\nu\) wird in der zitierten Abhandlung angegeben) und \(\Omega_\nu\) findet.
Alle Gebiete \(\Delta\), die von Kurven der Form (*) begrenzt werden und auf die \(D\) konform abgebildet werden kann, gehen auseinander durch eine Ähnlichkeitstransformation hervor.
Schließlich werden noch 2 Folgerungen aus diesen Sätzen gezogen.
Die Beweise werden in Anlehnung an frühere Arbeiten des Verf. (loc. cit.) kurz angedeutet.

Reviewer: Stefan Warschawski (Göttingen)

MSC:

30C35

General theory of conformal mappings

Keywords:

theory of analytical functions

Citations:

JFM 56.0296.03; JFM 56.0296.02; JFM 56.0296.04