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Gesammelte mathematische Werke. Bd. 2. Hrsg. von Robert Fricke, Emmy Noether und Øystein Ore. (German) Zbl 0001.38501

Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn A.-G. 442 S. (1931).
Der 2. Band der Dedekindschen Werke bringt zunächst weitere 15 (Nr. 20–34) der von ihm selbst ab 1885 veröffentlichten Arbeiten; darunter befinden sich nicht die im 3. Band. erscheinenden Supplemente zu den Dirichletschen Vorlesungen über Zahlentheorie sowie die Schriften ,,Stetigkeit und irrationale Zahlen” und ,,Was sind und was sollen die Zahlen?”
Die einzelnen Stücke sind von Emmy Noether und Ore mit kurzen Anmerkungen versehen, die die seither erfolgte Entwicklung und verwandte Fragestellungen herausarbeiten. Zu diesen bekannten Veröffentlichungen treten 11 hier zum erstenmal mitgeteilte Stücke des Nachlasses. Dabei konnte auf die Wiedergabe der im engeren Sinne fragmentarischen Arbeiten um so eher verzichtet werden, als wir von ihnen durch den Briefwechsel mit Frobenius ein überaus deutliches Bild besitzen; diese im Besitz von E. Landau befindlichen Briefe sind am Schluß des Bandes auszugsweise wiedergegeben.
Die Reihe der Nachlaßpublikationen wird eröffnet durch zwei Nummern topologischen Charakters:
35. Allgemeine Sätze über Räume, und 36. Beweis und Anwendungen eines allgemeinen Satzes über mehrfach ausgedehnte stetige Gebiete. Die erste Notiz betrifft nach unserer heutigen Sprache die Definition der offenen Menge und ihres Randes; in der zweiten handelt es sich um einen sehr allgemeinen mengentheoretischen Satz, der für beschränkte Punktmengen Euklidischer Räume die Existenz eines in einem gewissen Sinn ersten Elementes einer bestimmten Eigenschaft zu erschließen gestattet; hieraus ergibt sich beispielsweise als Spezialfall der Satz vom Minimum einer stetigen Funktion im abgeschlossenen Quader sowie, worauf E. Noether hinweist, der Heine-Borelsche Überdeckungssatz.
37. Stetiges System aller Abbildungen der natürlichen Zahlenreihe \(N\) in sich selbst. Es wird gezeigt, daß das System aller Abbildungen eine ordnungsfähige Menge darstellt.
38. Charakteristische Eigenschaft einklassiger Körper \(\Omega\): Es handelt sich um das in neuester Zeit von H. Hasse in allgemeinerem Zusammenhang wiedergefundene Kriterium dafür, daß ein endlicher algebraischer Zahlkörper einklassig ist [vgl. H. Hasse, J. Reine Angew. Math. 159, 3–12 (1928; JFM 54.0158.03)].
39. Konstruktion von Quaternionenkörpern schließt an die Arbeit ,,Über Gruppen, deren sämtliche Teiler Normalteiler sind” an; es handelt sich um den genauen Nachweis einer in ihr skizzierten Behauptung über die Quaternionenkörper über dem Zahlkörper \(R(\sqrt 2, \sqrt 3)\) \((R =\) Körper der Rationalzahlen).
40. Zur Theorie der Ideale (Göttingen 1894). Anwendung auf die Kreiskörper. Enthält einen Irreduzibilitätsbeweis der Kreisteilungsgleichung auf Grund der folgenden Schlüsse: 1. Eine primitive \(m\)-te Einheitswurzel bleibt primitiv modulo jedem in \(m\) nicht aufgehenden Primideal \(\mathfrak p\) des Körpers \(K\) dieser Einheitswurzeln. 2. Es gibt eine Substitution \(\psi_0\) der Zerlegungsgruppe von \(\mathfrak p\), für die \(\omega\psi_0\equiv \omega^p(\mathfrak p)\) für jedes ganze \(\omega\) aus \(K\).
41. Gruppencharaktere von Zahlklassen in endlichen Körpern. Hier werden, die heute sog. ,,eigentlichen” Charaktere erklärt und zugleich der Begriff des Führers, insbesondere des Führers eines Charakters, im Sinne der Klassenkörpertheorie gewonnen; die damit zusammenhängende Zerlegung der \(\zeta\)-Funktion in eigentliche \(L\)-Reihen behandelt neben anderen Fragen einen Brief vom 8. VII. 1896 an Frobenius (vgl. 45.). Die auf die Charaktere und den Führer bezüglichen Methoden werden zwar nur für Spezialfälle angewandt, sind aber so allgemein gehalten, daß sie auch im weitesten Fall der heutigen Klassenkörpertheorie gelten würden.
42. Grundideale von Kreiskörpern gibt eine Anwendung der in 41. entwickelten Überlegungen; insbesondere findet man für den vorliegenden Fall die Darstellung der Diskriminante als Produkt der Führer der Charaktere der zugehörigen Klassengruppe, wie sie kürzlich Artin auch auf beliebige Galoissche nicht lediglich Abelsche Körper ausgedehnt hat.
43. Untersuchung der Gruppe X bringt einen Satz über die Trägheits- und Verzweigungsgruppen eines Galoisschen Körpers \(K\).
44. Ideale in Normalkörpern gibt Ansätze zu einer formalen Differentiation in algebraischen Zahlkörpern, die zur Untersuchung der Differente gedacht waren.
Den Band beschließen die Auszüge aus Briefen an Frobenius: In den ersten beiden findet man Resultate, die unabhängig Frobenius wiederentdeckte und publizierte unter dem Titel ,,Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Zahlkörpers und den Substitutionen seiner Gruppe” (Berliner Akademie 1896). Es folgt ein Brief, in dem Dedekind sich ausläßt über Ordnungen mit vorgeschriebenem Führer; über umkehrbare und nicht umkehrbare Moduln und die evtl. Anwendung der Modultheorie auf die Theorie der Reziprozitätsgesetze. Die letzten Briefe betreffen die hyperkomplexen Systeme und die Darstellungstheorie; diese Frobenius 1896 mitgeteilten Gedanken gehen zurück auf das Jahr 1886, teilweise sogar bis 1880. Es handelt sich zunächst um die Definition der Gruppendeterminante und ihre Zerlegung in Linearfaktoren, wozu mehrere Beispiele mit verschiedenartigen Ausblicken durchgeführt werden; insbesondere wird der Zusammenhang zwischen der Gruppendeterminante einer Gruppe \(\mathfrak G\), dem Index der in \(\mathfrak G\) enthaltenen Kommutatorgruppe \(\mathfrak A\) unter \(\mathfrak G\) und den Charakteren von \(\mathfrak G/\mathfrak A\) berührt. Es folgen noch Mitteilungen über die Zerlegung der Gruppendeterminante Abelscher Gruppen in lineare Charakterfaktoren, über Charaktere, insbesondere die eigentlichen, und schließlich über die Konstruktion hyperkomplexer Systeme mit vorgegebener Gruppendeterminante. Die Briefe sind, wie alle Nachlaßstücke mit Ausnahme des unter 39. aufgezählten, von W. Weber bearbeiteten, von E. Noether kommentiert.
Band I (1930) wurde im JFM 56.0024.05 referiert. Zu Band II s. auch JFM 57.0036.01.

MSC:

01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics

Keywords:

Collected works