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On a theorem of Carleman. (English) JFM 60.0220.03

Der fragliche Satz von T. Carleman [Les fonctions quasi analytiques. Paris: Gauthier-Villars (1926; JFM 52.0255.02)] lautet: Die Funktionen, für die \(|f^{(v)}(X)|\leq B^vA_v\) in \(0\leq X\leq 1\) ist, bilden dann und nur dann eine quasianalytische Klasse, wenn \[ \int _0^\infty \frac {dX}{1+X^2}\log \sum _{v=0}^\infty \frac {X^{2v}}{A_v^2} \] divergiert.
Es wird hier bewiesen auf Grund des Satzes von R. Paley und N. Wiener [Trans. Am. Math. Soc. 35, 348–355, 761–791 (1933; JFM 59.0421.01)]: Die Funktionen, für die \(\int _{-\infty }^{+\infty }\left |f^{(v)}(X)\right |^2\,dX\leq B^{2v}A_v^2\) ist, bilden dann und nur dann eine quasi-analytische Klasse, wenn für die \(A_v\) dieselbe Bedingung wie oben gilt.

MSC:

30-XX Functions of a complex variable
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