Ford, W. B. On the relation between the sum-formulas of Hölder and Cesàro. (English) JFM 41.0280.03 Amer. Journ. 32, 315-326 (1910). Die ersten und einfachsten Verfahren, eine divergente Reihe \(\sum a_n\) zu summieren, sind die anscheinend sehr nahe verwandten Methoden von Cesàro und Hölder. Dieser bildet arithmetische Mittel, indem er setzt: \[ \begin{matrix} s_n^{(0)}&=a_0+a_1+\cdots+a_n,\\ s_n^{(r)}&=\frac{s_0^{(r-1)}+s_1^{(r-1)}+\cdots+s_n^{(r-1)}}{n+1}&(r=1,2,\dots ),\end{matrix} \] jener – anscheinend sehr ähnlich – \[ \begin{matrix} S_n^{(0)}&=s_n^{(0)}=a_0+a_1+\cdots+a_n,\\ S_n^{(r)}&=S_0^{(r-1)}+S_1^{(r-1)}+\cdots+S_n^{(r-1)}&(r=1,2,\dots). \end{matrix} \] Ist nun für einen bestimmten Index \(r\) \[ \lim_{n=\infty}s_n^{(r)}=l,\;\text{bezw.}\;\lim_{n=\infty} \frac{r!S_n^{(r)}}{n^r} =l' \] vorhanden, so nennen sie die Reihe summierbar mit der Summe \(l\), bezw. \(l'\).Knopp (Diss. Berlin 1907) hat bewiesen; daß mit \(l\) auch \(l'\) vorhanden und \(=l\) ist. Schnee (F. d. M. 40, 304, JFM 40.0304.02) zeigte, daß beide Grenzwerte stets gleichzeitig existieren und denselben Wert haben.Ford gibt unabhängig einen neuen Beweis für diese, wie es scheint, ziemlich tiefliegende Tatsache. Reviewer: Knopp, K., Dr. (Berlin) Cited in 2 Documents JFM Section:Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines. Citations:JFM 40.0304.02 × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI