The application to Dirichlet’s series of Borel’s exponential method of summation. (English) JFM 41.0291.02

Hardy, G. H.

Proc. Lond. Math. Soc. (2) 8, 277-294 (1910).

H. Bohr [C. R. 148, 75–80 (1909; JFM 40.0313.01)] hat mit großem Erfolg die Cesàrosche Summationsmethode (durch arithmetische Mittel) auf die Dirichletschen Reihen angewendet. Hardy summiert dieselben Reihen nach der Borelschen Exponentialmethode und gelangt zu folgenden Sätzen:
1. Wenn \(\sum a_n\) summierbar ist, so ist es \(\sum a_nn^{-s}\) für alle \(\operatorname{Re}(s)>0\).
2. Das gleiche gilt für die absolute Summierbarkeit.
Hierdurch ist die Existenz zweier Halbebenen \(\sigma>\alpha\) und \(\sigma>\beta\) \((\beta\geqq\alpha)\) nachgewiesen, in deren Innern die Reihe summierbar, bzw. absolut summierbar ist.
Während in vielen Fällen die Borelsche Methode weiter trägt als die Cesàrosche, wird an der Reihe \(1^{-s}+0+\cdots+0-8^{-s}+0+\cdots+0+27^{-s}+\cdots\) (in der also \(a_n=(-1)^{k-1}\) für \(n=k^3\), sonst aber \(a_n=0\) ist) gezeigt, daß dies nicht allgemein gilt: diese Reihe ist sehr wohl nach Cesàro summierbar, nach Borel aber nur, wenn sie konvergiert.
Weiterhin wird der Reihe \(D=\sum a_nn^{-s}\) die Potenzreihe \(P=\sum a_nx^n\) zugeordnet und gezeigt:
3. Wenn der Punkt \(+1\) im Innern des Summabilitäts-Polygons von \(P\) liegt, so ist \(D\) in der ganzen Ebene summierbar und stellt also dort eine ganze Funktion dar.

Reviewer: Knopp, K., Dr. (Berlin)

MSC:

30B50	Dirichlet series, exponential series and other series in one complex variable
40G10	Abel, Borel and power series methods
40G05	Cesàro, Euler, Nörlund and Hausdorff methods

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 40.0313.01