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Sur le théorème de M. Picard dans la théorie des fonctions monogènes. (French) JFM 41.0465.01

C. R. Congr. Stockholm, 112-136 (1910).
Der Verf. unterscheidet den besonderen Picardschen Satz, wonach eine ganze Funktion jeden endlichen Wert bis auf höchstens einen annimmt, und den allgemeinen, der sich auf die Umgebung irgendeiner isolierten wesentlich singulären Stelle bezieht. Er setzt zuerst sehr übersichtlich und leicht verständlich die konforme Abbildung durch Modulfunktionen und die Grundgedanken des besonderen Picardschen Satzes auseinander, bis zu dem abschließenden Ergebnis Caratheodorys, der bekanntlich (F. d. M. 38, 448, 1907, JFM 38.0448.01) den genauen Maximalwert \(R(a_0, a_1)\) für den Halbmesser des Kreises bestimmt hat, in welchem eine Funktion \(a_0+a_1x+\cdots\) regulär sein kann, ohne die Werte Null oder 1 anzunehmen.
Sodann hebt Lindelöf den Nutzen hervor, den man in diesen Fragen aus einem allgemeinen Satze ziehen kann, den er früher veröffentlicht hatte (Acta Soc. Fennicae 35, Nr. 7, 1909; F. d. M. 40, 439, 1909, JFM 40.0439.02). Es folgen hieraus nicht nur die bekannten Ungleichungen für die Maximalwerte \(M (r), A (r)\) des absoluten Betrags und Realteils von \(f (re^{i\vartheta})\) (z. B. \(M (r) < \frac{2r}{R-r} A (R)\), falls \(R >r\)), sondern auch der genaue Wert der zuerst von Schottky nachgewiesenen oberen Grenze \(M \left( a_0 \frac{r}{R} \right)\) für \(M (r)\) und, was am wichtigsten erscheint, ein verhältnismäßig einfacher Beweis des allgemeinen Picardschen Satzes.
Endlich zeigt er, wie man im wesentlichen auf dem Wege Borels, aber mit bedeutendem Gewinn an Einfachheit und Übersichtlichkeit, den besonderen Picardschen Satz und den wichtigen Zusatz Landaus elementar beweisen kann, und wie man weiterschreitend auch den allgemeinen Satz ohne Modulfunktionen bezwingen kann, was bisher nicht geglückt war.

MSC:

30A05 Monogenic and polygenic functions of one complex variable