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Untersuchung des allgemeinen Falles der kettenweise verbundenen Größen. (Russian) JFM 41.0261.04

Petersb. Denkschr. (8) 25, Nr. 3, 33 S. \(4^{\circ}\) (1910).
Die Betrachtung der erzeugenden Funktionen, welche den Verf. bei früheren Untersuchungen (Petersb. Denk. 22, Nr. 9; F. d. M. 39, 292, 1908, JFM 39.0292.02) in dem Falle der homogenen Kette zum Ziele führte, versagt in dem Falle der nicht homogenen Kette, weil die eizeugenden Funktionen selbst sehr kompliziert sind. Der Verf. greift deshalb zu dem bei unabhängigen Größen mit Erfolg angewandten Verfahren der Entwicklung der mathematischen Hoffnung als Potenz einer Summe nach dem binomischen Lehrsatz unter Beibehaltung der am schnellsten zunehmenden Glieder. Erörtert wird jetzt der allgemeine Fall nicht homogener in Kette verbundener Größen, welche die Stellen von der Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 nicht enthält. Wie in der vorigen Abhandlung werden drei Wahrscheinlichkeiten des Auftretens des Ereignisses \(E\) betrachtet: \(p_{k+1}\) ohne irgendwelche Voraussetzung über vorangehende und darauffolgende Versuche; \(p_{k+1}'\), wenn beim \(k\)-ten Versuche \(E\) erschien; \(p_{k+1}^{\prime\prime}\), wenn beim \(k\)-ten Versuche \(E\) nicht erschien. Dann wird \(p_{k+1} = p_kp_{k+1}' + q_kp^{\prime\prime}_{k+1}\). Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\) bei dem \(k\)-ten Versuche, falls beim \(i\)-ten \(E\) aufgetreten ist, wird \(P_k^{(i)} = p_k + \delta_{i+1}\delta_{i+2}+\cdots +\delta_kq_i(\delta_{k+1}=p_k'-p_{k+1}'),(\delta_{k+1}\leqq 1)\). Analog für das Nichtauftreten von \(E: \overline{P}^{(i)}_k = p_k- \delta_{i+1} \delta_{i+2} \dots \delta_k p_i(i<k)\). Für das Weitere wird die Bedingung eingeführt, daß \[ \frac{\text{math. Hoffn.}\;( \sum^h_1 (x_i-p_i))^2}{n} \] nicht beliebig klein werde (a). Die besagte Methode ermöglicht, zu beweisen, daß \[ \lim_{n=\infty}\;\text{math. Hoffn.}\;\left\{\frac{\sum (x_i-p_i)}{\sqrt{\text{math. Hoffn.}\;(\sum (x_i-p_i))^2}} \right\}^m =\,\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int^{+\infty}_{+\infty} t^m e^{-t^2}dt \] für sämtliche ganzen \(m\), und also die Wahrscheinlichkeit der Ungleichungen \[ t_1 < \frac{\sum (x_i-p_i)}{\sqrt{\text{math. Hoffn.} 2(\sum (x_i-p_i))^2}} < t_2\;\text{gleich}\;\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int^{t_2}_{t_1} e^{-t^2}dt \] wird, wenn \(n\) unendlich wächst. Math. Hoffnung des Quadrats: \[ \begin{aligned} & \text{Math. Hoffn.}\;(m-\sum p_i)^2= \\ & \sum p_iq_i (1+2\delta_{i+1} + 2\delta_{i+1}\delta_{i+2} + \cdots + 2\delta_{i+1} \cdots \delta_k), \end{aligned} \] womit auf diesen Fall das Gesetz der großen Zahlen leicht übertragen wird. Zum Schluß zeigt der Verf., daß die Bedingung (a) keine anderen Einschränkungen nach sich zieht, als die am Anfang angegebenen.

Citations:

JFM 39.0292.02