A general theorem on integrals functions of finite order. (English) JFM 39.0485.01

Littlewood, J. E.

Lond. M. S. Proc. (2) 6, 189-204 (1908).

Im Jahre 1903 hatte Wiman (F. d. M. 34, 454, 1903, JFM 34.0452.03) folgende Vermutung ausgesprochen. Ist \(f (z)\) eine ganze transzendente Funktion, deren Ordnung \(\varrho\) einer als \(\frac 12\) ist, so gibt es, wenn \(\varepsilon\) eine beliebig kleine positive Zahl bedeutet, oberhalb jeder vorgegebenen Grenze immer noch Werte von \(r,\) sodaß für alle Punkte des Kreises \(|z| = r\) die Ungleichheit gilt \[ |f(z)| >e^{r^{\varrho -\varepsilon}} \]
In der vorliegenden Abhandlung gibt Littlewood den Beweis für einen ähnlichen Satz. Es sei wiederum \(f (z)\) eine ganze transzendente Funktion, deren Ordnung \(\varrho\) zwischen 0 und \(\frac 12\) liegt. Ferner möge \(M(r)\) das Maximum, \(m(r)\) das Minimum der absoluten Beträge von \(f (z)\) auf dem Kreise \(|z| = r\) bedeuten. Dann gibt es immer eine unendliche Reihe von positiven Zahlen \(r_1, r_2, r_3, \dots,\) bei der jede folgende Zahl größer ist als die vorhergehende und schließlich \(\lim_{n=\infty}r_n\) über alle Grenzen wächst, von folgender Beschaffenheit. Wenn \(\varepsilon\) irgend eine vorgegebene positive Zahl ist, so gibt es eine endliche Zahl \(\mu,\) sodaß für \(s > \mu\) die Ungleichheiten gelten: \[ m(r_s) > [ M(r_s)]^{\cos (2\pi \varrho) - \varepsilon}. \] Die Reihe der Zahlen \(r_n\) ist unabhängig von den Argumenten der Nullstellen von \(f(z)\) und hängt nur von deren absoluten Beträgen ab. Ist also \(f_1(z)\) eine andere ganze transzendente Funktion der Ordnung \(\varrho\), bei der die Reihe der Nullstellen dieselben absoluten Beträge aufweist wie bei \(f (z),\) so gibt es wiederum eine endliche Zahl \(\mu',\) sodaß für \(s > \mu'\) die Ungleichheiten gelten: \[ m_1 (r_s) > [M_1 (r_s)]^{\cos (2\pi \varrho)-\varepsilon}. \] Ferner gelten für, alle Werte von \(s,\) die größer als eine endliche Zahl \(\mu'\) sind, die Ungleichheiten: \[ m(r_s) > [ M_1 (r_s)]^{\cos (2\pi \varrho) - \varepsilon}, \quad m_1 (r_s)r> [M(r_s)]^{\cos (2\pi \varrho)-\varepsilon}. \] Das Beweisverfahren versagt, wenn die Ordnung der Funktion Null ist; der Satz bleibt jedoch richtig, wie aus einer früheren Untersuchung des Verf. hervorgeht (F. d. M. 38, 450, 1907, JFM 38.0450.01).
Wenn \(\varrho < \frac 14\) ist, so hat \(\cos 2\pi \varrho\) einen positiven Wert. In diesem Falle gibt es also Kreise von beliebig großem Radius \(r,\) sodaß \[ m(r) > [M(r)]^c \] wird, wo \(c\) eine positive Zahl bezeichnet.
Zum Schlußwird die Vermutung ausgesprochen, daß der Lehrsatz richtig bleibt, wenn die Ordnung zwischen Null und Eins liegt, und \(\cos (2\pi \varrho)\) durch \(\cos (\pi \varrho)\) ersetzt wird.

Reviewer: Stäckel, Prof. (Karlsruhe)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 34.0452.03; JFM 38.0450.01