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Sur les problèmes qui se rapportent à la résolution des équations algébriques renfermant plusieurs inconnues. (French) JFM 29.0073.04
Inhalt des Vortrags von Enriques auf dem internationalen Mathematikercongress zu Zürich l897 (vergl. das vorangehende Referat, JFM 29.0073.03), in dem er über den augenblicklichen Stand der im Titel genannten Teile der Algebra berichtet hat. Die Hauptaufgabe besteht darin, wenn eine Gleichung zwischen \(n\) Variabeln \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\) vorgelegt ist, die \(x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\) in der einfachsten Weise als Functionen von \(n-1\) Parametern \(u_1,u_2,\dots,u_{n-1}\) derart darzustellen, dass durch Einsetzen dieser Functionen in \(f=0\) die Gleichung identisch erfüllt wird. Es ist dabei wesentlich, zu unterscheiden, ob die \(u_1,\dots,u_{n-1}\) sich rational durch die \(x_1,\dots,x_n\) ausdrücken lassen oder nicht. Im ersteren Fall wird die Lösung als “einfache” bezeichnet. Falls man für eine vorgelegte Gleichung eine “nicht einfache” Lösung mittels bekannter Irrationalitäten besitzt, erhebt sich die Frage, ob man die Gleichung nicht auch in “einfacher” Weise durch dieselben Irrationalitäten lösen kann. Diese Frage ist erst in ganz speciellen Fällen beantwortet worden (Lüroth, Math. Ann. 9; Castelnuovo, Math. Ann. 44; Painlevé, Ann. de l’Éc. Norm., 1891; Enriques, Palermo Rend. 1895). Im Zusammenhang mit dem Problem der Lösung einer Gleichung steht das der Transformation, welches dazu führt, alle Gleichungen, die durch rationale Transformationen in einander übergehen, (nach Riemann) einer und derselben Klasse zuzuweisen. Die hierher gehörigen Fragen sind auch erst für Gleichungen zwischen zwei Variabeln vollständig erledigt. Indem Enriques näher auf die Gleichungen zwischen zwei Variabeln \(f(x,y)=0\) eingeht, bespricht er den Zusammenhang zwischen der Function \(f\) und der Irrationalität \(x=\varphi(u)\), durch welche \(f=0\) gelöst werden kann. In gewissen Fällen kann man die Lösung einer Gleichung \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\) zwischen \(n\) Variabeln auf die einer Gleichung zwischen zwei Variabeln zurückführen, dadurch dass man die übrigen als Parameter wählt und die Lösung von \(\bar f(x_1,x_2)=0\) für die von \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\) verwertet (Noether, Math. Ann. 3). Für die allgemeinen Gleichungen zwischen drei Variabeln von höherem als dem vierten Grade kann man noch nicht den niedrigsten Grad der Irrationalität angeben, durch welche sie lösbar sind. Für specielle Kategorien von Gleichungen zwischen drei Variabeln sind wenigstens einige Resultate bereits gefunden.
Citations:
JFM 29.0073.03
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References:
[1] ”Beweis eines Satzes über rationale Curven”. Ces Annalen, Bd. 9. · JFM 07.0417.01
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[6] Enriques ”Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche”. Memorie della Società italiana delle Scienze (dei XL), 1896. · JFM 27.0518.02
[7] Castelnuovo et Enriques ”Sur quelques récents résultats dans la théorie des surfaces algébriques”. Voir ces Annalen Bd. 48.
[8] Voir le ch. II du Mémoire cité sur les équations différentielles.
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[10] ”Ueber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich”. Ces Annalen Bd. 41. · JFM 24.0380.02
[11] l. c. ”Ueber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich”. Ces Annalen Bd. 41. · JFM 24.0380.02
[12] ”Ueber Flächen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen”. Ces Annalen Bd. 3. · JFM 02.0616.02
[13] Enriques ”Sui piani doppi di genere uno”. Memorie della Società italiana delle Scienze, 1896. · JFM 27.0523.02
[14] ”Sulle superficie di genere zero”. Memorie della Societá italiana delle Scienze (dei XL) 1896. · JFM 36.0693.02
[15] ”Sui piani doppi di genere uno” l. c. Memorie della Societá italiana delle Scienze (dei XL) 1896. · JFM 27.0523.02
[16] Voir dans ce même journal l’article: Enriques, ”Sulle irrazionalità...”, Bd. 49
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