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Sur les équations linéaires qui admettent quatre intégrales liées par une relation quadratique. (French) JFM 28.0308.03

Siehe JFM 28.0308.02. Die Gleichung \(s^2-4\lambda(x,y)pq=0\) wird durch die Transformation \(p = u^2\), \(q = v^2\) in die lineare Differentialgleichung übergeführt: \[ \frac{\partial^2u}{\partial x\partial y} - \frac12\frac{\partial\log\lambda}{\partial x}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} - \lambda u = 0.\tag{\(E\)} \] Aus jedem Integral dieser Gleichung erhält man eine Lösung der ersten Gleichung durch eine Quadratur: \(z = \int u^2dx + \frac1{\lambda}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2dy\). Es ist nun leicht zu zeigen, dass die adjungirte Gleichung von (\(E\)) dieselben Invarianten wie diejenige Gleichung hat, die man aus (\(E\)) durch Anwendung einer Laplace’schen Transformation erhält, und dass umgekehrt alle derartigen Gleichungen unter (\(E\)) enthalten sind. Damit nun die Integration nach der Laplace’schen Methode ausführbar sei, müssen die Laplace’schen Reihen sowohl nach der Richtung der positiven wie der negativen Indices abbrechen und zwei von den Enden gleich weit entfernte Gleichungen gleiche, aber umgekehrt geordnete Invarianten haben. Nach Ableitung eines allgemeinen Satzes werden die Fälle untersucht, für die \(\lambda = \frac k{(x+y)^2}\) ist. Damit hier die Reihen abbrechen, muss \(k\) das Quadrat einer ganzen Zahl sein; für die einfachsten Fälle \(k=1\) und \(=4\) werden die allgemeinen Integrale angegeben.
In der zweiten Note wird gezeigt, dass diejenigen linearen Gleichungen, welche vier linear unabhängige Integrale besitzen, die durch eine quadratische homogene Relation mit constanten Coefficienten verbunden sind, zu der oben besprochenen Klasse von Differentialgleichungen gehören.

Citations:

JFM 28.0308.02