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Gergonne’s pile problem. (English) JFM 40.0275.04

In demselben Bulletin (2) 1, 184-186 (F. d. M. 26, 239, 1895, JFM 26.0239.03) hat L. E. Dickson die Hudsonsche Lösung der Aufgabe behandelt: Ein PPack von \(ab\) Karten in \(a\) Päckchen von je \(b\) Karten zu verteilen und nach jeder Verteilung die Päckchen so aufzustapeln, daß nach der \(n\)-ten Verteilung eine beliebig ausgewählte Karte die \(r\)-te in dem ganzen Pack ist. Aus den Betrachtungen von Dickson folgert der Verf. zunächst in bezug auf die kleinste Anzahl der hierzu nötigen Aufstapelungen: Man wähle \(n\) so, daß \(a^{n-1}\geqq b\geqq a^{n-2}\), und dividiere \(a^{n-1} (r-1)\) durch \(b\). Wenn der Rest \(\varrho\) Null oder \(\geqq 2b - a^{n-1}\) ist, so genügen \(n\) Aufstapelungen. Wenn aber \(0<\varrho< 2b- a^{n-1}\), so sind \(n + 1\) Aufstapelungen notwendig und stets genügend.
In dem Hauptteile der Arbeit wird eine Verallgemeinerung der Aufgabe behandelt: Die Anzahl der Päckchen bei der Verteilung der Karten sei nicht jedesmal die nämliche, sondern der Reihe nach \(A_1,A_2,\dots,A_n\); die Anzahl \(N\) der Karten also \(N = A_1b_1 = A_2b_2 =\dots = A_nb_n\). Nach der ersten Verteilung befinde sich die gewählte Karte \(x\) unter den \(b_1\) Karten des sie enthaltenden Päckchens. Nach der zweiten Verteilung sind diese \(b_1\) Karten über \(A_2\) Päckchen verteilt, so daß das Päckchen mit \(x\) nun eine engere Gruppe von Karten enthält, unter denen \(x\) herauszufinden ist, usw. Auch für diese verallgemeinerte Aufgabe gelangt der Verf. zu praktisch brauchbaren Endformeln.

Citations:

JFM 26.0239.03
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