On the analytic representation of functions of a real variable. (Extract from a letter to Mr. Émile Picard.). (Sur la représentation analytique des fonctions d’une variable réelle. (Extrait d’une lettre à M. Émile Picard.).) (French) JFM 31.0409.01

Mittag-Leffler, G.

Palermo Rend. 14, 217-224 (1900).

Der Beweis, den Weierstrass für die näherungsweise Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen durch Polynome gegeben hat (F. d. M. 17, 384-388, 1885, JFM 17.0384.02), ist von Runge (F. d. M. 18, 344, 1886, JFM 18.0344.02), Picard (F. d. M. 23, 412, 1891, JFM 23.0412.01), Volterra (F. d. M. 28, 1897, JFM 28.0363.01) und Lebesgue (F. d. M. 29, 352, 1898, JFM 29.0352.02) durch andere, einfachere Herleitungen ersetzt worden. Noch einfacher ist der Beweis, den Mittag- Leffler mitteilt. Er beruht auf der Betrachtung der ganzen transcendenten Function \[ \chi_n(x) = 1 - 2^{1-(1+x)^n}, \] die, je nachdem die reelle Veränderliche \(x\) \((>-1)\) positiv, Null, negativ ist, sich für \(n=\infty\) der Grenze \(+1\), 0, \(-1\) nähert. Versteht man nun unter \(F(x)\) eine reelle Function der reellen Veränderlichen \(x\), die in dem Intervall \[ B > b \geq x\geq a > A \] reell und stetig ist, so lassen sich stets zwischen die Werte \(a = a_0\) und \(b = a_{r+1}\) Werte \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_r\) in der Weise einschalten, dass die Function \(F(x)\) in dem Intervall \(x = (a\dots b)\) mit beliebiger Genauigkeit durch die aus den \(r+1\) geradlinigen Strecken: \[ y_\mu = F_\mu(x) = F(a_{\mu-1}) + [F(a_\mu) - F(a_{\mu-1})] \frac{x-a_{\mu-1}}{a_\mu-a_{\mu-1}} \]
\[ (a_{\mu-1}\leq x\leq a_\mu,\quad \mu = 1,2,\dots,r+1) \] gebildete Polygonallinie ersetzt wird. Diese Polygonallinie aber lässt sich mit beliebiger Genauigkeit darstellen durch die Gleichung: \[ y_\mu = \frac12[F_1(x) + F_{r+1}(x)] + \frac12\sum_{\lambda=1}^r [F_\lambda(x) - F_{\lambda+1}(x)] \chi_n \left(\frac{a_\lambda-x}{B-A}\right), \] deren rechte Seite eine ganze transcendente Function von \(x\) ist und daher wiederum mit beliebiger Genauigkeit durch ein Polynom in \(x\) ersetzt werden kann.
Diese Methode des Beweises hat den Vorzug, dass sie mit Leichtigkeit auf reelle Functionen von mehreren reellen Veränderlichen ausgedehnt werden kann, eine Verallgemeinerung, die zuerst von Picard veröffentlicht worden ist. Allerdings hat Weierstrass, wie Mittag-Leffler bemerkt, bereits im Jahre 1884 in einer Vorlesung seinen Satz auf Functionen von mehreren reellen Veränderlichen ausgedehnt. Der Referent möchte hinzufügen, dass Weierstrass auch in einer Vorlesung über ausgewählte Kapitel der Functionentheorie während des Sommersemesters 1886 in aller Ausführlichkeit diese Ausdehnung seines Theorems auseinandergesetzt hat. Leider scheint eine Veröffentlichung dieser auch nach anderer Richtung sehr wichtigen Vorlesung nicht in Aussicht zu stehen.

Reviewer: Stäckel, Prof. (Kiel)

MSC:

41A10

Approximation by polynomials

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Keywords:

A proof of the Weierstrass approximation theorem.

Citations:

JFM 17.0384.02; JFM 18.0344.02; JFM 23.0412.01; JFM 28.0363.01; JFM 29.0352.02