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Rein geometrische Theorie der binären Formen zweiter Ordnung. (German) JFM 37.0124.01

Es wird in der Einleitung betont, daß der Gegensatz zwischen analytischer und synthetischer Geometrie heute nicht mehr besteht, daß vielmehr beide einander auf ihren Wegen folgen können. Indessen ist in der modernen Algebra die Ausbildung der beiderlei Methoden noch eine ungleiche. Die Invariantentheorie kann invariante Beziehungen in unbegrenzter Zahl aufstellen, die dann projektive geometrische Eigenschaften repräsentieren; die Geometrie vermag aber nicht in jedem Falle anzugeben, welche geometrischen Eigenschaften den invarianten Beziehungen entsprechen.
In diesem Sinne ist es vor allem Aufgabe der Geometrie, die durch die algebraischen Gleichungen gegebenen Gebilde unabhängig von der Algebra zu definieren. Vgl. vor allem E. Kötter (F. d. M. 19, 577, 1887, JFM 19.0577.02). Unabhängig davon hat der Verf. (F. d. M. 11, 444, 1879, JFM 11.0444.03; 14, 558, 1882, JFM 14.0558.02; 16, 103, 1884, JFM 16.0103.02; 18, 591, 1886, JFM 18.0591.01) die geometrischen Gebilde in anderer Weise rein geometrisch definiertdurch Konstruktion ihrer Polarsysteme. Die erste Grundlage ist hierbei die Theorie der binären Formen, insbesondere der Formen \(f_2\) zweiter Ordnung. Als Erzeugnisse von Involutionen sind sie seit langer Zeit bekannt, als selbständige Gebilde hat sie zuerst H. Wiener (F. d. M. 17, 592, 1885, JFM 17.0592.01) untersucht. Während sich aber Wiener auf einzelne Formen \(f_2\) und Büschel solcher beschränkt, bezieht der Verf. auch die Gesamtheit der \(f_2\), ihr “Bündel”, ein, namentlich mit Rücksicht auf das Gebilde (Kegelschnitt), das aus der Gesamtheit der Formen mit zusammenfallenden Ordnungselementen besteht; dies ist auch die Vorbedingung für eine genauere Erforschung der binären Formen höherer Ordnung.
Der Vollständigkeit halber wird der Reihe nach behandelt: I. die einzelne \(f_2\); II. das System zweier konjugierter \(f_2\); III. der Büschel der zu einer \(f_2\) konjugierten \(f_2\); IV. die zu \(2f_2\) konjugierte Form und der Büschel von zwei \(f_2\); VI. das Bündel der \(f_2\). Die “binäre” Form zweiter Ordnung \(f_2\) wird durch zwei in involutorischer Lage befindliche projektive Punktreihen erzeugt. Der einem Punkte \(a\) in der Involution zugeordnete Punkt \(b\) heißt die Polare des Pols \(a\). Man hat sofort die Sätze: 1. Die Punkte einer Geraden und ihre Polaren für eine \(f_2\) bilden zwei projektive Punktreihen; 2. ist \(b\) die Polare von \(a\) für \(f_2\), so auch \(a\) die Polare von \(b\); 3. eine \(f_2\) ist durch zwei Paare von Pol und Polare bestimmt. Man hat drei Arten von \(f_2\), hyperbolische, elliptische, parabolische, je nachdem zwei Ordnungspunkte (die mit ihren Polaren zusammenfallen) existieren oder nicht, oder endlich in einen einzigen Punkt zusammenfallen.
Ist für eine \(f_2\) \((a,b)\) ein Paar, \((x,y)\) ein zweites Paar von Pol und Polare, so bestimmten die Paare \((a,x)\) und \((b,y)\) eine zu \(f_2\) “konjugierte” Form \(X_2\). Ist \(X_2\) zu \(f_2\) konjugiert, so auch \(f_2\) zu \(X_2\). Die Polaren der Punkte der Geraden für zwei konjugierte Formen bilden eine Involution, also eine neue binäre Form zweiter Ordnung \(Y_2\); diese ist auch zu \(f_2\) und \(X_2\) konjugiert. Sucht man für solche drei zueinander konjugierte Formen \(f_2,X_2,Y_2\) zu einem beliebigen Punkte \(r\) die Polaren \(u,s,v\), so sind \((r,u)\), \((s,v)\) Paare von \(f_2\), ebenso \((r,s)\), \((u,r)\) Paare von \(X_2\) und \((r,v)\), \((s,u)\) Paare von \(Y_2\). Somit gehören zu den drei konjugierten Formen unendlich viele derart verkettete Quadrupel von Punkten, so daß jeder Punkt der Geraden einem solchen Quadrupel angehört. Von Wichtigkeit ist noch der Satz, daß die Ordnungselemente einer \(X_2\) ein Paar von Pol und Polare für jede zu \(X_2\) konjugierte Form bilden.
Damit hat man die Mittel zur Beherrschung des Büschels der zu einer \(f_2\) konjugierten Formen zweiter Ordnung und damit auch eines beliebigen Büschels solcher Formen. Die Polaren zweier beliebigen Punkte der Geraden für die Elemente eines Büschels von Formen zweiter Ordnung bilden zwei projektive Punktreihen.
Es gibt stets eine binäre Form zweiter Ordnung \(I_2\), die zu zwei Formen \(f_2\) und \(g_2\) konjugiert ist. Man nennt \(I_2\) die “Jacobische Kovariante” von \(f_2\) und \(g_2\). Mit Hülfe dieser \(I_2\) beweist man, daß ein Büschel von Formen zweiter Ordnung durch zwei seiner Individuen \(f_2\) und \(g_2\) eindeutig bestimmt ist. Unter den weiteren Sätzen seien noch die beiden hervorgehoben: “Die Paare von Formen eines Büschels, die zueinander konjugiert sind, bilden eine Involution”. “Zwei beliebige Büschel haben stets eine Form gemeinsam”.
Nunmehr wird aus drei gegebenen Formen \(f_2,g_2,h_2\) ihr “Bündel” konstruiert. Man verbinde jede Form \(X_2\) des Büschels \((f_2,g_2)\) mit \(h_2\) zu einem Büschel \((x_2,h_2)\). Die Gesamheit der so entstehenden Formen konstituiert das Bündel \((f_2,g_2,h_2)\). Zu diesem Bündel gehören alle Formen zweiter Ordnung, die es überhaupt gibt. Die projektive Geometrie der Punkte einer Ebene läßt sich daher ohne weiteres auf das Gebiet der Formen zweiter Ordnung übertragen. Einem Punkte entspricht dabei eine \(f_2\), einer Geraden ein Büschel von \(f_2\) usf. Dabei wird gezeigt, wie man zwei Büschel von \(f_2\) projektiv aufeinander bezieht.
Derartige systematische Entwicklungen sind nicht nur wünschenswert, sondern auch notwendig. Für den Leser wäre es aber ungemein lehrreich, die parallel laufenden algebraischen Invariantenbildungen zur Seite zu haben.
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