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Relazione intorno alla memoria di Guido Castelnuovo che ha per titolo: Ricerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane. (Italian) JFM 23.0653.02

Die Leser des Jahrbuchs wissen sehr wohl, dass die Theorie der linearen Systeme ebener algebraischer Curven, welche aus der Theorie der Cremona’schen Verwandtschaften entsprossen ist, sich in vielen Untersuchungsgebieten von ausserordentlicher Wichtigkeit gezeigt hat, und dass in Folge dessen eine grosse Zahl von wertvollen Arbeiten derselben gewidmet worden ist. In der lehrreichen Vorrede der zum Bericht stehenden Abbandlung des Herrn Castelnuovo (siehe JFM 23.0653.01) findet man die bezügliche Litteratur zusammengestellt. Hier genügt es, die Stellen der letzten Bände dieses Jahrbuchs anzuführen, wo über die vornehmsten unter denselben berichtet wurde: F. d. M. XVIII. 1886. 671, JFM 18.0671.01; JFM 18.0671.02; XIX. 1887. 603, JFM 19.0603.02, 610, JFM 19.0610.01, 611, JFM 19.0611.01; JFM 19.0611.02, 704, JFM 19.0704.02, 840, JFM 19.0840.01; JFM 19.0840.02; XX. 1888. 601, JFM 20.0601.01, 604, JFM 20.0604.01, 607, JFM 20.0607.01, 608, JFM 20.0608.01; XXI. 1889. 618, JFM 21.0618.01, 620, JFM 21.0620.01; JFM 21.0620.02; XXII. 1890. 627, JFM 22.0627.01; JFM 22.0627.02.
Die in Rede stehenden Untersuchungen haben zum Ausgangspunkte einen Gedanken, welcher, wie natürlich erscheinen kann, noch nicht in gehöriger Breite entwickelt worden war; wir denken dabei an die Idee, die Lehrsätze der Geometrie auf einer algebraischen Curve (vgl. Brill und Nöther, “Die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie”, Math. Ann. VII) für die Theorie der linearen Systeme zu benutzen. Dem Verf. ist ferner eigentümlich die Unterscheidung zwischen “virtuellen” und “wirklichen” Charakteristiken, wie dies aus dem Folgenden erhellen wird.
Der Verf. setzt voraus, dass in einer Ebene \(\sigma\) eine Gruppe \(A\) von \(h\) Punkten \(a_1, a_2, \dots , a_h\) beliebig gegeben sei, in welchen eine Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung resp. die Vielfachheiten \(\nu_1 , \nu_2 , \dots , \nu_h\) haben soll; in Folge dessen hat man \(\frac12 \sum \nu (\nu +1)\) lineare (nicht immer unabhängige) Gleichungen unter den \(\frac12 n(n+3)\) Parametern, von denen die Curve abhängt; jeder Auflösung dieses Systems entspricht eine Curve des linearen Systems \([C]\), welches durch die Punkte \(a\) und die Zahlen \(\nu\) bestimmt wird. Durch \(C(n,\nu)_A\) oder kürzer \(C\) wird eine ganz beliebige Curve des Systems bezeichnet. Da den Bestimmungsstücken keine Beschränkung auferlegt ist, so kann der Fall eintreten, dass durch den Punkt \(a\) wirklich eine Zahl \(\overline {\nu}\) von Zweigen geht, grösser als \(\nu\). In solchem Falle ist \(\nu\) die “virtuelle”, \(\overline {\nu}\) die “wirkliche” Vielfachheit der Curve \(C\) in \(a\). Bildet man aus den Punkten \(a\) oder aus einigen derselben und aus anderen Punkten von \(\sigma\) eine neue Gruppe \(\overline A\), so werden wir künftig sagen, dass \(C\) “in Bezug auf \(\overline A\) bestimmt” ist, wenn die Vielfachhieten von \(C\) in den Punkten von \(\overline A\) bekannt sind.
Geht durch \(k\) beliebige Punkte von \(\sigma\) eine einzige Curve von \([C]\), so ist \(k\) die “wirkliche” Dimension des Systems; die “virtuelle” Dimension desselben ist durch die Gleichung \[ \text{(1)}\quad {\overline k} =\tfrac12\, \{n(n+3)-\sum \nu (\nu +1)\} \] gegeben. Enthält das System eine einzige Curve, so ist \(k=0\); enthält es keine, so ist es vorteilhaft, \(k=-1\) zu nehmen. Mithin kann man sagen, dass die wirkliche Dimension des Systems nicht unter \(-1\) herabsinken kann, während die virtuelle jeden beliebigen positiven wie negativen Wert annehmen kann. Man hat immer \(k\geqq \overline k\), und der Unterschied \[ \text{(2)}\quad s=k-\overline k \] wird der Ueberschuss (sovrabbondanza) des Systems genannt; ist \(s=0\), so ist das System “regulär”.
\(A'\) sei die Gruppe der Punkte \(a\), in denen die Curve \(C\) eine Vielfachheit \(\nu >1\) hat; jede Curve, welche \((\nu -1)\) mal durch einen Punkt \(a\) von \(A'\) geht, wird zum System \([C]\) oder zur Curve \(C\) in Bezug auf die Gruppe \(A\) “adjungirt” genannt; alle adjungirten Curven einer gegebenen Ordnung \(m\) bilden ein neues System von Curven \(C'(m,\nu -1)_A\), welches dem System \([C]\) auch “adjungirt” genannt wird. Das wichtigste adjungirte System bekommt man, wenn \(m=n-3\) ist; dieses wird in Zukunft allein betrachtet. Dasselbe war schon von Hrn. S. Kantor behandelt und benutzt (m. s. C. R. 9. Februar 1885; vgl. F. d. M. XVII. 605, JFM 17.0605.01; JFM 17.0605.02), aber die methodische Anwendung desselben wird in der Abhandlung, über die virtuelle Dimension des adjungirten Systems seien \(k'\) und \(\overline {k}'\); setzt man \[ \text{(3)}\quad p=k'+1,\quad {\overline p}={\overline k}'+1, \] so nennt man \(p\) und \(\overline p\) das “wirkliche” und das “virtuelle” Geschlecht des Systems \([C]\). Folgende Beziehungen finden dann statt: \[ \text{(4)}\quad {\overline p}=\tfrac12\, \{ (n-1)(n-2)-\sum \nu (\nu -1)\}, \quad {\overline p}\leqq p,\quad p\geqq 0. \] Endlich wird durch den Namen “Grad” des Systems die (positive oder negative) Zahl \[ \text{(5)}\quad D=n^2-\sum \nu^2 \] bezeichnet. Die fünf Zahlen \(k,\;p,\;D,\;{\overline k},\;{\overline p}\) sind die Charakteristiken des Systems \([C]\) oder der Curve \(C\) in Bezug auf die Gruppe \(A\). Sie sind durch die Gleichung \[ \text{(6)}\quad D={\overline k}+{\overline p}-1 \] verbunden; ihre Invarianz wird durch den ersten Teil des folgenden wichtigen Satzes ausgedrückt: “Wenn in einer Cremona’schen Transformation die beliebige Curve \(C\) und die Gruppe \(\overline A\) der Ebene \(\sigma\) die Curve \(C^*\) und die Gruppe \(\overline A^*\) der Ebene \(\sigma^*\) als entsprechend haben, so sind die Charakteristiken von \(C\) in Bezug auf \(A\) dieselben wie diejenigen von \(C^*\) in Bezug auf \(\overline A^*\); jede adjungirte Curve von \(C^*\) besteht aus der Transformirten einer adjungirten Curve von \(C\) und den Curven von \(\sigma^*\), welche den Grundpunkten von \(\sigma\) entsprechen, wo \(C\) die virtuelle Vielfachheit 0 besitzt.” Dieses Theorem erlaubt, die gegenseitigen Entfernungen der Punkte der Gruppe \(A\) als nicht unendlich klein immer vorauszusetzen.
In einer irreducibeln (oder einfachen) Curve ist \(p=\overline p\). In einer Curve \(C\), welche aus den Curven \(C_1,C_2,\dots, C_i\) besteht, bezeichne man durch \((C_mC_n)\) die Zahl der Durchschnittspunkte von \(C_m\) und \(C_n\) in Bezug auf \(A\); setzt man dann \(J=\sum (C_mC_n)\) \((m\gtrless n;\;m, n=1, 2, \dots, i)\), so hat man: \[ \begin{aligned} \text{(7)} & \quad {\overline k}={\overline k}_1+{\overline k}_2+\cdots +{\overline k}_i+J,\\ & \text{(8)}\quad {\overline p}={\overline p}_1+{\overline p}_2+\cdots +{\overline p}_i+J-i+1,\\ \text{(9)} & \quad D=D_1+D_2+\cdots +D_i+2J,\\ & \text{(10)}\quad k\geqq k_1+k_2+\cdots +k_i,\\ \text{(11)}& \quad p\geqq p_m(m=1,\;2,\;\dots ,\;i).\end{aligned} \] Setzt man ferner voraus, dass keine zwei der Curven \(C_1,C_2, \dots , C_m\) unendlich viel Punkte gemein haben, so kann man schliessen: \[ \text{(12)}\quad p\geqq p_1+p_2+\cdots +p_m. \] Nennt man endlich “zusammenhängend” eine (reducible) Curve, von der jeder (reducible oder irreducible) Teil mit seinem complementaren Teil entweder unendlich viele Punkte gemeinschaftlich hat, oder mindestens einen Durchschnitt in Bezug auf \(A\), so gilt der Satz: eine zusammengesetzte Curve, bei welcher \(p=\overline p\) sei, ist zusammenhängend, u. s. w.
Nachdem der Verf. die Erforschung der Eigenschaften der linearen Systeme “in Bezug auf eine Punktgruppe” erschöpft ihren “absoluten” Eigenschaften und beschränkt sich auf die irreducibeln Systeme, d. h. auf diejenigen, welche als allgemeines Element eine einfache Curve besitzen. Er setzt ferner voraus, dass das System \([C]\) mindestens \(\infty^1\) Curven enthalte; in diesem Falle ist die Zahl derjenigen Punkte endlich, welche allen Curven gemeinschaftlich sind; sie bilden die “Basis” \(A\) des Systems. Die Curve \(C\), unabhängig vom System \([C]\) betrachtet, hat in einem Punkte \(a\) der Gruppe \(A\) eine gewisse Vielfachheit \(\nu\), welche wir als die Vielfachheit des Systems in \(a\) ansehen wollen; \(\nu\) ist die virtuelle und wirkliche Vielfachheit einer beliebigen Curve des Systems in \(a\); aber eine specielle Curve des Systems kann in \(a\) wohl eine Vielfachheit haben, höher als \(\nu\). Dies vorausgesetzt, sind die Charakteristiken von \([C]\): 1) die durch die Gleichung (1) gegebene virtuelle Dimension \(\overline k\), 2) die wirkliche Dimension \(k>0\), 3) das (virtuelle = wirkliche) Geschlecht und 4) der durch die Gleichung (5) gegebene Grad.
Die Curven des Systems \([C]\) bestimmen auf einer beliebigen, aber festen Curve desselben eine Reihe von \(\infty^{k-1}\) Gruppen, deren jede \(D\) Punkte enthält; sie ist die “charakteristische” Reihe \(g^{k-1}_D\) des Systems; sie ist in keiner Reihe \(g^1_D\) enthalten, in der \(l>k-1\), d. h. sie ist “vollständig”. Ein lineares System ist regulär oder überschüssig, je nachdem seine charakteristische Reihe “speciell” oder “nicht speciell” ist (nach der Benennung von Brill und Nöther). Dieser bemerkenswerte Satz hat zahlreiche und wichtige, nur zum Teil schon bekannte Folgerungen, welche wir aber der Kürze wegen unterdrücken müssen.
Eine reducible oder nicht irreducible Curve, welche durch keine Curve des Systems \([C]\) in Punkten geschnitten wird, welche der Gruppe \(A\) nicht angehören, wird “Fundamentalcurve” des Systems genannt. Der Verf. untersucht die (virtuellen und wirklichen) Charakteristiken einer solchen Curve und beweist dadurch viele neue Sätze, von denen er eine interessante Anwendung auf die Bestimmung der kleinsten Zahl von Basispunkten macht, welche ein überschüssiges System mindestens 9 Basispunkte hat, und wenn es gerade 9 hat, so ist ein Büschel (elliptischer) Curven der Ordnung \(3r\) \((r=1, 2, \dots)\) vorhanden, welche durch jeden Basispunkt \(r\)-mal gehen.
Sieht man von festen Curven ab (falls dieselben existiren), welche von jeder zu \(C\) adjungirten Curve \((n-3)^{\text{ter}}\) Ordnung einen Teil bilden, so bleiben, wenn \(p>1\) ist, \(\infty^{p-1}\) Curven, welche das “zu \(C\) rein adjungirte System” bilden und auf \(C\) die Reihe \(g^{p-1}_{2p-2}\) ausschneiden; ist das genannte System reducibel, so ist die allgemeine Curve von \([C]\) hyperelliptisch.
Die Vergleichung der Charakteristiken des Systems \([C]\) mit denen der zu \(C\) rein adjungirten führt auf eine Reihe neuer Bezeiehungen, welche der Leser in der Originalarbeit findet. Unter den Anwendungen, deren sie fähig sind, wählen wir die Bestimmung der höchsten Dimensionen, welche ein lineares System von gegebenem Geschlechte haben kann, eine Bestimmung, welche den Verf. auf den folgenden höchst merkwürdigen Satz führt: “Ist \(\mu\) eine ganze positive Zahl, so kann man ein lineares System vom Geschlechte \(p\) und von der Dimension \[ k\geqq (\mu +2)\left(\tfrac p{\mu} +2\right) \] durch eine Cremona’schen Verwandtschaft transformiren: entweder in ein System von Curven einer Ordnung \(\leqq 2\mu +1\), oder in eines der Ordnung \(M\) mit einem Basispunkte, dessen Vielfachheit \(\nu \geqq M-\mu\) ist.”
Dies sind etwa die Grundgedanken und vornehmsten Resultate der Arbeit des Herrn Castelnuovo, welche einen wirklichen Fortschritt in einer der hauptsächlichsten Theorien der heutigen Geometrie darzubieten scheint.

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