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Questions on the theory of numbers. (English) JFM 39.0250.02

Ed. Times (2) 13, 19-20 (16189); 27-30 (16118); 43 (16206); 95-96 (16223); 14, 29 (16296); 71-72 (16347); 76-78 (16259); 106-108 (16408) (1908).
(16189) Ein direktes, nichttastendes und schnelles Verfahren zur Auflösung der Gleichng \(x^2=a\) (mod. \(p\)) zu finden, wo \(a\) ein quadratischer Rest von \(p\) und \(p\) eine große Primzahl ist. Dieses Verfahren an der Lösung der Gleichungen \((a)x^2=-537\) (mod. 6311), \((b)x^2=3582\) (mod. 7177), \((c)x^2=3789\) (mod. 8513) zu erläutern. – Cunningham gibt ein Verfahren an, das, “obschon tastend vorgehend, der Veröffentlichung wert zu sein scheint, da es beständig von ihm mit Erfolg angewandt ist”. – (16118) Die Gleichung \(x^2+y^2=53z^2\) in positiven ganzen Zahlen zu lösen. Ist die Gleichung \(x^2+y^2=66z^2\) ganzzahlig lösbar? – Eine partielle Lösung von Cunningham, der unter anderem auf Desboves, Mémoire sur la résolution en nombres entiers de l’équation \(aX^m+bY^m=cZ^m\) verweist (F. d. M. 11, 138, 1879, JFM 11.0138.03), gibt zwar einen Weg an, kommt aber nicht zum endgültigen Resultate. – (16206) Die Zahl 10091401 ist als Primzahl sowohl von Euler als auch von Legendre nachgewiesen worden, aber erst nach langwierigen Rechnungen. Dasselbe Resultat durch Rechnungen darzutun, die nicht mehr Arbeit verlangen, als in einer Stunde zu leisten ist. – Cunningham sagt, daß diese Zahl in jeder der Formen \(t^2+Du^2\) ausgedrückt werden kann, wo \(D=1,2,3,5,6,10,15,22,30,33,57,60,72,165,190,330,760,1320\), und zwar auf eine einzige Weise. Euler nahm \(D=1\); viel kürzer ist der Nachweis für \(D=1320\). – (16223) Zu zeigen, daß es eine doppelt unendliche Reihe von Zahlen der Form \(x^8+y^8\) gibt, die algebraisch in zwei Faktoren zerlegbar sind, und die allgemeine Form von X und Y zu finden, wenn dies möglich ist. Insbesondere zu zerlegen \(5^8+17^8, 19^8+7^8, 19^8+23^8, 29^8+25^8\). – Lösung vom Verf. selbst. – (16296) Die kleinsten positiven ganzzahligen Werte für \(x,y,z\) in der Gleichung \(x^3-66y^3=z^2\) zu finden. R. Norrie gibt die allgemeine Lösung, aus der \(x=25\), \(y=6\), \(z=37\) folgt. – (16347) Wie kommt es, daß die Faktoren von \(N_1 =(x+y)^6 -45x^4 y^2- 18xy^5\) immer von der Form \(M(18)\pm 1\) sind? Es soll strenge bewiesen werden, daß für alle Werte von \(x\) und \(y\) der Ausdruck \(N_2=x^6+20x^3y^3+y^6-3xy(x^4+y^4) -\frac{15}{2}\,x^2y^2(x^2+y^2)\) immer zerlegbar ist; die Form der Faktoren ist aufzufinden. – Cunningham begrenzt die Aussage über \(N_1\) dahin, daß \(x\) und \(y\) teilerfremd sein müssen, \(x+y\) durch 3 nicht teilbar. Sowohl er, wie der Aufgabesteller erbringen die geforderten Beweise. – (16259) Streng zu beweisen, daß die einzigen ganzzahligen Werte von \(x\) und \(y\), die der Gleichung \(x^2-2y^4=-1\) genügen, die Paare \((x,y)=(1,1)\) und (239, 13) sind. Aber auch zu zeigen, daß es eine unendliche Reihe gebrochener Lösungen gibt und mindestens eine von ihnen zu finden. – Cunningham weist auf die Vorarbeiten von Euler, V. A. Lebesgue und Lucas hin und teilt aus Ed. Lucas, Recherches sur l’analyse indéterminée et l’arithmétique de Diophante (Moulins, 1873) das Nötige mit. – (16408) Eine allgemeine Methode zur ganzzahligen Lösung \(y\) von \(x^3=y^2+a\) zu ermitteln und sie an den Fällen \(a\)=107, 146, 207 zu erproben. Für \(a=-17\) gibt es wenigstens 6 Lösungen. Für \(a=17\) oder \(-7\) ist die Gleichung unmöglich. Wie ist es mit \(a=127\)? – Beantwortet werden die gestellten Fragen von A. Cunningham.

MSC:

11A07 Congruences; primitive roots; residue systems

Citations:

JFM 11.0138.03