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Sur quelques problèmes concernant les variétés algébriques et la théorie des syzygies des idéaux de polynômes. (French) Zbl 0033.15302

Verf. bespricht die Arbeit des Ref. ,,Über die Syzygientheorie der Polynomideale” [Monatsh. Math. 53, 1–16 (1949; Zbl 0031.20102)] und stellt die interessante Tatsache fest, daß die von F. S. Macaulay [The algebraic theory of modular systems. Cambridge: University Press (1916; JFM 46.0167.01)] zuerst eingeführten ,,perfekten” Ideale, deren Charakterisierung durch ihre Syzygienketten in der Arbeit des Ref. behandelt wurde, mit den vom Verf. als ,,vollständig von 1. Gattung” definierten Idealen (idéaux complètement ou absolument de première espèce) übereinstimmen.
Verf. hat diese Ideale in mehreren Arbeiten seit 1934 untersucht [Bull. Soc. Math. Fr. 61, 258–283 (1933; Zbl 0008.12903); Quelques propriétés des variétés algébriques se rattachant aux théories de l’algèbre moderne. Paris: Hermann (1935; Zbl 0011.26804); J. Math. Pures Appl., IX. Sér. 15, 271–283 (1936; Zbl 0014.39102); C. R. Acad. Sci., Paris 226, 548–550 (1948; Zbl 0030.29501)], desgleichen R. Apéry [C. R Acad. Sci., Paris 220, 234-236 (1945; Zbl 0061.33601), 271–272 (1945; Zbl 0061.33602); 221, 436–438 (1945; Zbl 0061.33602) und Thèse, Paris, 1947], allerdings ohne die vorausgehenden Begriffsbildungen und Sätze Macaulays zu bemerken. Insbesondere ist der vom Verf. in der vorliegenden Arbeit für sich beanspruchte Satz, daß jedes perfekte Ideal ungemischt ist, bereits von Macaulay (loc. cit. p. 99) ausgesprochen und bewiesen worden.
Die vom Ref. offen gelassene Frage, ob ein Ideal \(\mathfrak a\) immer dann perfekt sei, wenn \((\mathfrak a, \varphi\) für jede zu \(\mathfrak a\) relativ prime Form \(\varphi\) ungemischt ist, behauptet Verf. bereits im negativen Sinn entschieden zu haben.
Verf. kritisiert ferner die Formulierung des Noetherschen Fundamentalsatzes und die Anwendungen auf Matrizenideale in der Arbeit des Ref.

MSC:

13A15 Ideals and multiplicative ideal theory in commutative rings
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